Utilize indução para demonstrar que as seguintes igualdades são verdadeiras para todo
:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de indução matemática juntos! A questão pede para mostrar que a soma
é igual a
para todo número natural
. Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, geralmente
. Vamos substituir
por 1 na fórmula:
Calculando os dois lados:
Como ambos os lados são iguais, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
O próximo passo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, precisamos provar que:
Passo 5
Vamos usar a hipótese de indução que assumimos ser verdadeira. Sabemos que:
Agora, adicionamos
em ambos os lados:
Passo 6
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Passo 7
Comparamos os dois lados:
Como os dois lados são iguais, mostramos que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a igualdade
é verdadeira para todo
.