Utilize indução para demonstrar que as seguintes igualdades são verdadeiras para todo m in N : 2 cdot 1+2 cdot 2+2 cdot 3+cdots+2 cdot m=m^2+m;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de indução matemática juntos! A questão pede para mostrar que a soma é igual a para todo número natural . Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica usada para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, geralmente 2 cdot 1 = 1^2 + 1 . Vamos substituir 2 = 1 + 1 implies 2 = 2 por 1 na fórmula:
Calculando os dois lados:
Como ambos os lados são iguais, a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural 2 cdot 1 + 2 cdot 2 + 2 cdot 3 + cdots + 2 cdot k = k^2 + k . Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

O próximo passo é mostrar que, se a afirmação é verdadeira para 2 cdot 1 + 2 cdot 2 + 2 cdot 3 + cdots + 2 cdot k + 2 cdot (k + 1) = (k + 1)^2 + (k + 1) , então ela também é verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que:

Passo 5

Vamos usar a hipótese de indução que assumimos ser verdadeira. Sabemos que:
2 cdot 1 + 2 cdot 2 + 2 cdot 3 + cdots + 2 cdot k = k^2 + k
Agora, adicionamos k^2 + k + 2 cdot (k + 1) = (k + 1)^2 + (k + 1) em ambos os lados:

Passo 6

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 3k + 2
Agora, vamos simplificar o lado direito:
(k + 1)^2 + (k + 1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = k^2 + 3k + 2

Passo 7

Comparamos os dois lados:
k^2 + 3k + 2 = k^2 + 3k + 2
Como os dois lados são iguais, mostramos que se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a igualdade é verdadeira para todo .

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