Calcule os pontosde máximos e de mínimos relativos (se existem) de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos relativos da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar esses pontos. Precisaremos calcular a primeira e a segunda derivada da função para determinar onde ocorrem esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada
em relação a
. Lembre-se que a derivada de
é
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para tornar mais fácil resolver
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, elevamos ambos os lados à potência de
para eliminar o expoente fracionário:
Sabemos que
:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por
(assumindo
):
Agora, isolamos
:
Elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Passo 7
Encontramos que
é um ponto crítico. Para determinar se é máximo ou mínimo, vamos calcular a segunda derivada
.
Passo 8
Calculando a segunda derivada a partir da primeira derivada:
Vamos derivar novamente:
Passo 9
Para derivar
, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 10
Avaliaremos
em
:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que temos um ponto de máximo relativo nesse valor de
.
Resposta
A função possui um ponto de máximo relativo no ponto
.
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Sejam
e
. Verifique as identidades.
.