Sejam
e
. Calcule.
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais,
e
, e queremos calcular a derivada em relação a
do produto escalar entre elas, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções vetoriais e como funciona o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Então, vamos calcular o produto escalar
.
Passo 3
Substituindo as componentes das funções vetoriais:
Então,
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada dessa expressão em relação a
:
Usamos a regra da soma para derivadas e a regra do produto para
.
Passo 6
Derivando termo a termo:
Para
:
Para
:
Usamos a regra da cadeia:
Resposta
Portanto, a derivada é: