Sejam r1(t) = (sen(t), cos(t), t) e r2(t) = (t, cos(t), sen(t)). Calcule.
d/dt [r1(t) · r2(t)]

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais, e , e queremos calcular a derivada em relação a t do produto escalar entre elas, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções vetoriais e como funciona o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Então, vamos calcular o produto escalar .

Passo 3

Substituindo as componentes das funções vetoriais:
Então,

Passo 4

Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada dessa expressão em relação a t:
Usamos a regra da soma para derivadas e a regra do produto para .

Passo 6

Derivando termo a termo:
Para :
Para :
Usamos a regra da cadeia:

Resposta

Portanto, a derivada é:

Exercícios relacionados