Sejam r1(t) = (sen(t), cos(t), t) e r2(t) = (t, cos(t), sen(t)). Calcule.
d/dt (r1(t) x r2(t))

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para calcular a derivada em relação ao tempo de um produto vetorial entre duas funções vetoriais: e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a regra de derivação do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a derivada do produto vetorial de duas funções vetoriais é dada por:
Isso significa que devemos derivar cada vetor separadamente e depois aplicar o produto vetorial conforme a fórmula acima.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções vetoriais:
Derivada de :
Derivada de :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da derivada do produto vetorial:

Passo 5

Vamos calcular cada produto vetorial separadamente.
Primeiro, :
  • Componente x:
  • Componente y:
  • Componente z:
Então, o primeiro produto vetorial é:
Segundo, :
  • Componente x:
  • Componente y:
  • Componente z:
Então, o segundo produto vetorial é:

Passo 6

Agora, somamos os dois vetores obtidos:
  • Primeira componente:
  • Segunda componente:
  • Terceira componente:

Resposta

A derivada do produto vetorial é:

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