Sejam as retas r : x − 4 2 = y 2 = z + 5 1 e s := ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x = 2 λ y = 1 − λ , λ r e a l z = − 2 − 2 λ . O ponto de interseção entre as retas é o ponto P (a. b, c). Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre as retas e o valor do número p = (3a + 3b + 3 c), com a, b e c reais. impossível calcular o valor de p. concorrentes e ortogonais , p = - 6 concorrentes e ortogonais , p = - 8 concorrentes e não ortogonais , p = - 6 concorrentes e não ortogonais , p = - 8
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos duas retas no espaço tridimensional definidas por equações paramétricas. Nosso objetivo é determinar se essas retas são concorrentes (ou seja, se se intersectam), se são ortogonais (perpendiculares) e calcular o valor de $ p = 3a + 3b + 3c $, onde $ P(a, b, c) $ é o ponto de interseção das retas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial e geometria analítica, como equações paramétricas de retas, condições para interseção e ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta.
Para a reta $ r $:
Isso nos dá as equações paramétricas:
Para a reta $ s $:
onde $ \lambda $ é o parâmetro.
Passo 3
Para encontrar o ponto de interseção $ P(a, b, c) $, precisamos que exista um valor de $ t $ e $ \lambda $ que satisfaça simultaneamente todas as equações de $ r $ e $ s $. Então, igualamos as respectivas coordenadas:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar $ t $ e $ \lambda $.
Da primeira equação:
Substituindo $ \lambda = t + 2 $ na segunda equação:
Agora, substituindo $ t = -\frac{1}{3} $ na expressão para $ \lambda $:
Passo 5
Com os valores de $ t $ e $ \lambda $, podemos encontrar as coordenadas do ponto $ P(a, b, c) $.
Usando as equações de $ r $:
Passo 6
Agora, calculamos o valor de $ p $:
Passo 7
Por último, vamos verificar se as retas são ortogonais. Para isso, analisamos os vetores diretores das retas $ r $ e $ s $.
Vetor diretor de $ r $: $ \vec{u} = (2, 2, 1) $
Vetor diretor de $ s $: $ \vec{v} = (2, -1, -2) $
Duas retas são ortogonais se o produto escalar de seus vetores diretores for zero:
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais.
Resposta
As retas são concorrentes e ortogonais, com $ p = -8 $.