Sejam S=(1,2),(0,1) e T=(1,1),(2,3) bases para R^2. Sejam também v=(1,5) e w=(5,4).
f) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação a T usando QS^T. Compare sua resposta com a do item a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas bases para o espaço , chamadas e . Também temos dois vetores, e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as coordenadas desses vetores em relação à base usando a matriz de mudança de base . Depois, vamos comparar essa resposta com a do item a) (que provavelmente envolveu outra forma de encontrar as coordenadas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Basicamente, estamos expressando o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Para isso, precisamos encontrar uma matriz de mudança de base que converta as coordenadas de para .

Passo 3

A matriz de mudança de base é formada pelas colunas que representam os vetores da base escritos na base . Ou seja, precisamos encontrar como expressar cada vetor de em termos de .

Passo 4

Vamos começar encontrando a matriz S = [s1 s2] e T = [t1 t2] . Para isso, resolvemos o sistema:
Queremos encontrar tal que .

Passo 5

Escrevendo as colunas de (1,2) = a(1,1) + b(2,3) em termos de (0,1) = c(1,1) + d(2,3) :
Resolvemos esses sistemas para encontrar .

Passo 6

Resolvendo o primeiro sistema:
1 = a + 2b 2 = a + 3b
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2 - 1) = (a - a) + (3b - 2b) Rightarrow 1 = b
Substituindo 1 = a + 2 times 1 Rightarrow a = -1 na primeira equação:
Então, .

Passo 7

Resolvendo o segundo sistema:
0 = c + 2d 1 = c + 3d
Subtraindo a primeira equação da segunda:
1 - 0 = (c - c) + (3d - 2d) Rightarrow 1 = d
Substituindo 0 = c + 2 times 1 Rightarrow c = -2 na primeira equação:
Então, .

Passo 8

Agora, a matriz QS^T = -1 & -2 1 & 1 fica:

Passo 9

Para encontrar as coordenadas de e em relação a , usamos a matriz . Ou seja, multiplicamos pelas coordenadas dos vetores na base . Mas como não temos as coordenadas na base , podemos usar a inversa de .

Passo 10

Assumindo que já temos a matriz inversa de [v]T = QS^T cdot [v]S [w]T = QS^T cdot [w]S , aplicamos:

Passo 11

Calculando [v]T = -1 & -2 1 & 1 cdot 1 5 = -1 times 1 + (-2) times 5 1 times 1 + 1 times 5 = -11 6 :

Passo 12

Calculando [w]T = -1 & -2 1 & 1 cdot 5 4 = -1 times 5 + (-2) times 4 1 times 5 + 1 times 4 = -13 9 :

Resposta

As coordenadas dos vetores em relação à base [v]T = -11 6 e [w]T = -13 9 são:

Exercícios relacionados