Sejam
e
bases para
. Sejam também
e
.
f) Encontre os vetores de coordenadas de
e
em relação a
usando
. Compare sua resposta com a do item a).
f) Encontre os vetores de coordenadas de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas bases para o espaço
, chamadas
e
. Também temos dois vetores,
e
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as coordenadas desses vetores em relação à base
usando a matriz de mudança de base
. Depois, vamos comparar essa resposta com a do item a) (que provavelmente envolveu outra forma de encontrar as coordenadas).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base. Basicamente, estamos expressando o vetor como uma combinação linear dos vetores da base
. Para isso, precisamos encontrar uma matriz de mudança de base que converta as coordenadas de
para
.
Passo 3
A matriz de mudança de base
é formada pelas colunas que representam os vetores da base
escritos na base
. Ou seja, precisamos encontrar como expressar cada vetor de
em termos de
.
Passo 4
Vamos começar encontrando a matriz
. Para isso, resolvemos o sistema:
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 5
Escrevendo as colunas de
em termos de
:
Resolvemos esses sistemas para encontrar
.
Passo 6
Resolvendo o primeiro sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 7
Resolvendo o segundo sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Então,
.
Passo 8
Agora, a matriz
fica:
Passo 9
Para encontrar as coordenadas de
e
em relação a
, usamos a matriz
. Ou seja, multiplicamos
pelas coordenadas dos vetores na base
. Mas como não temos as coordenadas na base
, podemos usar a inversa de
.
Passo 10
Assumindo que já temos a matriz inversa de
, aplicamos:
Passo 11
Calculando
:
Passo 12
Calculando
:
Resposta
As coordenadas dos vetores em relação à base
são: