Resolva o sistema abaixo usando a regra de Cramer.
cx-2 y-2 z=-1 x-y+z=-2 2 x+y+3 z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a regra de Cramer. O que a gente tem aqui são três equações com três incógnitas (x, y e z). Pra resolver isso, vamos precisar entender determinantes e como aplicar a regra de Cramer para encontrar os valores de cada incógnita.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes. Essa matriz é formada pelos números que multiplicam as incógnitas nas equações. Então, para o nosso sistema:
A = 1 & -2 & -2 1 & -1 & 1 2 & 1 & 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz, que é essencial para a regra de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 a & b & c d & e & f g & h & i é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1((-1)(3) - (1)(1)) - (-2)(1(3) - (1)(2)) + (-2)(1(1) - (-1)(2))
det(A) = 1(-3 -1) + 2(3 -2) -2(1 +2) = 1(-4) + 2(1) -2(3) = -4 +2 -6 = -8

Passo 3

Agora, vamos encontrar os determinantes para cada incógnita substituindo a coluna correspondente pela coluna dos termos constantes (-1, -2, 1).
Para x ( Ax = -1 & -2 & -2 -2 & -1 & 1 1 & 1 & 3 ):
Substituímos a primeira coluna por det(Ax) = -1((-1)(3) - (1)(1)) - (-2)((-2)(3) - (1)(1)) + (-2)((-2)(1) - (-1)(1)) :
det(Ax) = -1(-3 -1) +2(-6 -1) -2(-2 +1) = -1(-4) +2(-7) -2(-1) = 4 -14 +2 = -8
Calculando o determinante de Ay = 1 & -1 & -2 1 & -2 & 1 2 & 1 & 3 :
det(Ay) = 1((-2)(3) - (1)(1)) - (-1)(1(3) - (1)(2)) + (-2)(1(1) - (-2)(2))
det(Ay) = 1(-6 -1) +1(3 -2) -2(1 +4) = 1(-7) +1(1) -2(5) = -7 +1 -10 = -16
Para y ( Az = 1 & -2 & -1 1 & -1 & -2 2 & 1 & 1 ):
Substituímos a segunda coluna por det(Az) = 1((-1)(1) - (-2)(1)) - (-2)(1(1) - (-2)(2)) + (-1)(1(1) - (-1)(2)) :
det(Az) = 1(-1 +2) +2(1 +4) -1(1 +2) = 1(1) +2(5) -1(3) = 1 +10 -3 = 8
Calculando o determinante de :
Para z ( ):
Substituímos a terceira coluna por :
Calculando o determinante de :

Passo 4

Agora, vamos usar a regra de Cramer para encontrar cada incógnita dividindo o determinante correspondente pelo determinante da matriz original x = det(Ax)det(A) = -8-8 = 1 :
y = det(Ay)det(A) = -16-8 = 2
z = det(Az)det(A) = 8-8 = -1

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 1, y = 2, z = -1

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