Uma matriz quadrada é dita idempotente se .
(a) Mostre que a matriz é idempotente. Calcule A^3, A^4, ldots, A^n.
(b) Qual é a única matriz idempotente não-singular? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! A parte (a) pede para mostrar que a matriz é idempotente, ou seja, que . Além disso, precisamos calcular . Para isso, vamos usar o conceito de multiplicação de matrizes e entender o que significa uma matriz ser idempotente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se A = 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4 . Para isso, precisamos multiplicar a matriz por ela mesma. A matriz dada é:
Vamos calcular .
Passo 3
Multiplicando a primeira linha de (2)(2) + (-1)(-3) + (1)(-5) = 4 + 3 - 5 = 2 pela primeira coluna de (2)(-1) + (-1)(4) + (1)(5) = -2 -4 +5 = -1 :
(2)(1) + (-1)(-3) + (1)(-4) = 2 +3 -4 =1
Multiplicando a primeira linha de pela segunda coluna de :
Multiplicando a primeira linha de pela terceira coluna de :
Então, a primeira linha de é .
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para a segunda linha de (-3)(2) + (4)(-3) + (-3)(-5) = -6 -12 +15 = -3 :
Multiplicando a segunda linha de (-3)(-1) + (4)(4) + (-3)(5) = 3 +16 -15 =4 pela primeira coluna de (-3)(1) + (4)(-3) + (-3)(-4) = -3 -12 +12 = -3 :
Multiplicando a segunda linha de pela segunda coluna de :
Multiplicando a segunda linha de pela terceira coluna de :
Então, a segunda linha de é .
Passo 5
Agora, para a terceira linha de (-5)(2) + (5)(-3) + (-4)(-5) = -10 -15 +20 = -5 :
Multiplicando a terceira linha de (-5)(-1) + (5)(4) + (-4)(5) =5 +20 -20 =5 pela primeira coluna de (-5)(1) + (5)(-3) + (-4)(-4) = -5 -15 +16 = -4 :
Multiplicando a terceira linha de pela segunda coluna de :
Multiplicando a terceira linha de pela terceira coluna de :
Então, a terceira linha de é .
Passo 6
Juntando tudo, temos:
A^2 = 2 & -1 & 1 -3 & 4 & -3 -5 & 5 & -4 = A
Isso confirma que , então é realmente idempotente.
Passo 7
Agora, para calcular A^3 = A^2 times A = A times A = A^2 = A , percebemos que:
A^4 = A^3 times A = A times A = A^2 = A
E, de forma semelhante:
A^n = A
E assim por diante, para qualquer :
Resposta
(a) A matriz é idempotente porque . Além disso, para qualquer , temos .