Sejam S e T operadores lineares no R^2 definidas por S(x, y)=(x+2 y, y) e T(x, y)=(x, 3 y). Determine:
(2 cdot S)+(4 cdot T)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois operadores lineares, e , definidos no . Precisamos encontrar a combinação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre operadores lineares e como combinar eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um operador por um número. Quando multiplicamos um operador linear por um escalar, simplesmente multiplicamos cada componente da saída do operador por esse número. Então, vai ser dois vezes o resultado de .

Passo 3

Vamos calcular 2 cdot S(x, y) = 2 cdot (x + 2y, y) = (2(x + 2y), 2y) = (2x + 4y, 2y) . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular 4 cdot T(x, y) = 4 cdot (x, 3y) = (4x, 12y) . Sabemos que , então:

Passo 5

Agora que temos (2x + 4y, 2y) + (4x, 12y) = (2x + 4y + 4x, 2y + 12y) = (6x + 4y, 14y) e , vamos somar essas duas expressões componente por componente:

Resposta

Portanto, a combinação (2 cdot S) + (4 cdot T)(x, y) = (6x + 4y, 14y) é o operador que mapeia para , ou seja:

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