Sejam A, B e C são três médicos de uma clínica. O médico C atende 40 % dos pacientes, A atende 25 % dos pacientes e 35 % dos pacientes são atendidos por B. Além disso, 10 % dos pacientes de A são da UNIMED, enquanto 15 % dos pacientes de C e 20 % dos pacientes de B são da UNIMED. Um paciente selecionado aleatoriamente é paciente do UNIMED. Qual a probabilidade de que ele seja paciente de B.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos conta sobre três médicos, A, B e C, e como eles atendem os pacientes de uma clínica. A gente precisa descobrir qual a chance de um paciente ser do médico B, sabendo que ele é da UNIMED. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
  • Distribuição dos pacientes entre os médicos:
    • Médico A: 25% dos pacientes
    • Médico B: 35% dos pacientes
    • Médico C: 40% dos pacientes
  • Porcentagem de pacientes da UNIMED atendidos por cada médico:
    • Médico A: 10%
    • Médico B: 20%
    • Médico C: 15%

Passo 3

Vamos definir os eventos para facilitar:
  • : Paciente é atendido pelo médico A.
  • : Paciente é atendido pelo médico B.
  • : Paciente é atendido pelo médico C.
  • : Paciente é da UNIMED.
O que precisamos encontrar é , ou seja, a probabilidade de o paciente ser atendido pelo médico B, dado que ele é da UNIMED.

Passo 4

Para achar P(B | U) = P(U | B) times P(B)P(U) , vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Vamos calcular cada parte dessa fórmula.

Passo 5

Primeiro, já temos ou .
Segundo, ou , que é a probabilidade de um paciente ser da UNIMED dado que ele é atendido pelo médico B.

Passo 6

Agora, precisamos calcular P(U) = P(U | A) times P(A) + P(U | B) times P(B) + P(U | C) times P(C) , a probabilidade de um paciente ser da UNIMED independentemente de qual médico ele foi atendido. Para isso, usamos a Lei da Probabilidade Total:
P(U) = 0,10 times 0,25 + 0,20 times 0,35 + 0,15 times 0,40
Substituindo os valores:
P(U) = 0,025 + 0,07 + 0,06 = 0,155
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Passo 7

Agora que temos todos os valores, vamos aplicar o Teorema de Bayes:
P(B | U) = 0,20 times 0,350,155 = 0,070,155 approx 0,4516

Resposta

A probabilidade de que um paciente selecionado aleatoriamente da UNIMED seja atendido pelo médico B é aproximadamente 45,16%.

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