Suponha que um reparo mínimo é realizado sob o custo
em caso de falha do componente cuja função de risco é dada pela Equação (1). Caso a falha não ocorra dentro do intervalo de tempo
, o componente é substituído no final do período sob o custo
. Apresente a função que minimiza o custo total desta política de manutenção.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um componente que pode falhar com o tempo, e quando ele falha, fazemos um reparo mínimo que custa
. Se ele não falha dentro de um certo período de tempo
, a gente simplesmente substitui o componente por outro, pagando um custo
. O objetivo aqui é achar uma função que minimize o custo total dessa política de manutenção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de confiabilidade e cálculo de custo esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas coisas. A função de risco, ou taxa de falha, que é a Equação (1) mencionada, descreve a probabilidade de o componente falhar em um pequeno intervalo de tempo. Mas como a gente não tem a Equação (1), vamos trabalhar de forma geral.
A função de confiabilidade
representa a probabilidade de o componente não falhar até o tempo
. Então, a probabilidade de falha ocorrer antes de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total esperado
. Esse custo tem duas partes:
-
O custo de reparar se falhar antes de
, que ocorre com probabilidade . Então, essa parte do custo é . -
O custo de substituir se não falhar até
, que ocorre com probabilidade . Então, essa parte do custo é .
Somando essas duas partes, temos:
Passo 4
Para minimizar o custo total, queremos achar o valor de
que faz
ser o menor possível. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Primeiro, derivamos
:
Isso simplifica para:
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Isso implica que ou
ou
. No contexto,
e
são custos diferentes, então a solução está em onde a taxa de mudança da confiabilidade é zero, ou seja, no ponto onde a confiabilidade não muda mais significativamente com o tempo.
Passo 5
Portanto, a função que minimiza o custo total dessa política de manutenção é:
Resposta
A função que minimiza o custo total da política de manutenção é: