Suponha que um reparo mínimo é realizado sob o custo em caso de falha do componente cuja função de risco é dada pela Equação (1). Caso a falha não ocorra dentro do intervalo de tempo , o componente é substituído no final do período sob o custo . Apresente a função que minimiza o custo total desta política de manutenção.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um componente que pode falhar com o tempo, e quando ele falha, fazemos um reparo mínimo que custa . Se ele não falha dentro de um certo período de tempo , a gente simplesmente substitui o componente por outro, pagando um custo . O objetivo aqui é achar uma função que minimize o custo total dessa política de manutenção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de confiabilidade e cálculo de custo esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas coisas. A função de risco, ou taxa de falha, que é a Equação (1) mencionada, descreve a probabilidade de o componente falhar em um pequeno intervalo de tempo. Mas como a gente não tem a Equação (1), vamos trabalhar de forma geral.
A função de confiabilidade representa a probabilidade de o componente não falhar até o tempo . Então, a probabilidade de falha ocorrer antes de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total esperado . Esse custo tem duas partes:
  1. O custo de reparar se falhar antes de , que ocorre com probabilidade . Então, essa parte do custo é .
  2. O custo de substituir se não falhar até , que ocorre com probabilidade . Então, essa parte do custo é .
Somando essas duas partes, temos:

Passo 4

Para minimizar o custo total, queremos achar o valor de que faz ser o menor possível. Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a zero.
Primeiro, derivamos :
Isso simplifica para:
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Isso implica que ou ou . No contexto, e são custos diferentes, então a solução está em onde a taxa de mudança da confiabilidade é zero, ou seja, no ponto onde a confiabilidade não muda mais significativamente com o tempo.

Passo 5

Portanto, a função que minimiza o custo total dessa política de manutenção é:

Resposta

A função que minimiza o custo total da política de manutenção é:

Exercícios relacionados

Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, . Calcule as seguintes probabilidades:
i) .
Sejam os seguintes tempos entre falhas observados do equipamento descrito pela função de risco dada pela Equação (1):
0.253 0.518 0.330 0.041 0.081 0.240 0.082 0.118
0.030 0.129 0.069 0.003 0.032 0.045 0.160 0.007
0.040 0.042 0.017 0.002 0.099 0.085
  • Qual é o valor do parâmetro da função de risco para este componente?
  • Qual é o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva deste equipamento? Suponha .
  • Qual é o custo esperado de garantia por produto, supondo garantia total não-renovável sob o custo médio de mínimo reparo igual a 10 (unidade monetária) e período de garantia igual a 2 (unidade de tempo)?
  • Suponha que o fabricante deseja fornecer uma manutenção preventiva em 1 (unidade de tempo) com um fator de restauração . Qual deve ser o custo máximo desta manutenção preventiva de modo a fazer com que o custo esperado da garantia seja reduzido?
Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre em cada uma das situações a seguir.
d) A área à esquerda de é 0,67 .