Suponha que um reparo mínimo é realizado sob o custo cm em caso de falha do componente cuja função de risco é dada pela Equação (1). Caso a falha não ocorra dentro do intervalo de tempo t0, o componente é substituído no final do período sob o custo cp. Apresente a função que minimiza o custo total desta política de manutenção.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um componente que pode falhar com o tempo, e quando ele falha, fazemos um reparo mínimo que custa . Se ele não falha dentro de um certo período de tempo , a gente simplesmente substitui o componente por outro, pagando um custo . O objetivo aqui é achar uma função que minimize o custo total dessa política de manutenção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de confiabilidade e cálculo de custo esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas coisas. A função de risco, ou taxa de falha, que é a Equação (1) mencionada, descreve a probabilidade de o componente falhar em um pequeno intervalo de tempo. Mas como a gente não tem a Equação (1), vamos trabalhar de forma geral.
A função de confiabilidade representa a probabilidade de o componente não falhar até o tempo . Então, a probabilidade de falha ocorrer antes de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo total esperado C(t0) = cm times (1 - R(t0)) + cp times R(t0) . Esse custo tem duas partes:
  1. O custo de reparar se falhar antes de , que ocorre com probabilidade . Então, essa parte do custo é .
  2. O custo de substituir se não falhar até , que ocorre com probabilidade . Então, essa parte do custo é .
Somando essas duas partes, temos:

Passo 4

Para minimizar o custo total, queremos achar o valor de dC(t0)dt0 = cm times (-dR(t0)dt0) + cp times dR(t0)dt0 que faz dC(t0)dt0 = (cp - cm) times dR(t0)dt0 ser o menor possível. Para isso, vamos derivar (cp - cm) times dR(t0)dt0 = 0 em relação a e igualar a zero.
Primeiro, derivamos :
Isso simplifica para:
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Isso implica que ou ou . No contexto, e são custos diferentes, então a solução está em onde a taxa de mudança da confiabilidade é zero, ou seja, no ponto onde a confiabilidade não muda mais significativamente com o tempo.

Passo 5

Portanto, a função que minimiza o custo total dessa política de manutenção é:
C(t0) = cm times (1 - R(t0)) + cp times R(t0)

Resposta

A função que minimiza o custo total da política de manutenção é:
C(t0) = cm times (1 - R(t0)) + cp times R(t0)

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