Suponha que um reparo mínimo é realizado sob o custo
em caso de falha do componente cuja função de risco é dada pela Equação (1). Caso a falha não ocorra dentro do intervalo de tempo
, o componente é substituído no final do período sob o custo
. Apresente a função que minimiza o custo total desta política de manutenção.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um componente que pode falhar com o tempo, e quando ele falha, fazemos um reparo mínimo que custa
. Se ele não falha dentro de um certo período de tempo
, a gente simplesmente substitui o componente por outro, pagando um custo
. O objetivo aqui é achar uma função que minimize o custo total dessa política de manutenção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de confiabilidade e cálculo de custo esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas coisas. A função de risco, ou taxa de falha, que é a Equação (1) mencionada, descreve a probabilidade de o componente falhar em um pequeno intervalo de tempo. Mas como a gente não tem a Equação (1), vamos trabalhar de forma geral.
A função de confiabilidade
representa a probabilidade de o componente não falhar até o tempo
. Então, a probabilidade de falha ocorrer antes de
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo total esperado
. Esse custo tem duas partes:
-
O custo de reparar se falhar antes de
, que ocorre com probabilidade . Então, essa parte do custo é . -
O custo de substituir se não falhar até
, que ocorre com probabilidade . Então, essa parte do custo é .
Somando essas duas partes, temos:
Passo 4
Para minimizar o custo total, queremos achar o valor de
que faz
ser o menor possível. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Primeiro, derivamos
:
Isso simplifica para:
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Isso implica que ou
ou
. No contexto,
e
são custos diferentes, então a solução está em onde a taxa de mudança da confiabilidade é zero, ou seja, no ponto onde a confiabilidade não muda mais significativamente com o tempo.
Passo 5
Portanto, a função que minimiza o custo total dessa política de manutenção é:
Resposta
A função que minimiza o custo total da política de manutenção é:
Exercícios relacionados
Seja
uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja,
. Calcule as seguintes probabilidades:
i) .
i)
Sejam os seguintes tempos entre falhas observados do equipamento descrito pela função de risco dada pela Equação (1):
0.253 | 0.518 | 0.330 | 0.041 | 0.081 | 0.240 | 0.082 | 0.118 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.030 | 0.129 | 0.069 | 0.003 | 0.032 | 0.045 | 0.160 | 0.007 |
0.040 | 0.042 | 0.017 | 0.002 | 0.099 | 0.085 |
- Qual é o valor do parâmetro da função de risco para este componente?
- Qual é o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva deste equipamento? Suponha
. - Qual é o custo esperado de garantia por produto, supondo garantia total não-renovável sob o custo médio de mínimo reparo igual a 10 (unidade monetária) e período de garantia igual a 2 (unidade de tempo)?
- Suponha que o fabricante deseja fornecer uma manutenção preventiva em 1 (unidade de tempo) com um fator de restauração
. Qual deve ser o custo máximo desta manutenção preventiva de modo a fazer com que o custo esperado da garantia seja reduzido?
Seja
uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre
em cada uma das situações a seguir.
d) A área à esquerda de é 0,67 .
d) A área à esquerda de