Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
e) ( Se a det (A B) é não nulo então as matrizes A e B são inversíveis

Passo 1

Vamos analisar a afirmativa: “Se a determinante de não é nula, então as matrizes e são inversíveis.” Esse exercício faz parte do estudo de álgebra linear, mais especificamente sobre determinantes e matrizes inversíveis. Para resolver, precisamos entender como as determinantes se comportam em multiplicações de matrizes e o que significa uma matriz ser inversível.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma matriz é inversível se e somente se sua determinante é diferente de zero. Isso significa que se , então tem uma matriz inversa tal que existe.

Passo 3

Agora, consideremos a propriedade das determinantes em relação ao produto de matrizes:
det(AB) = det(A) cdot det(B)
Isso nos diz que a determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das determinantes dessas matrizes individuais.

Passo 4

Dado que det(A) cdot det(B) neq 0 , podemos usar a propriedade acima:
Para que o produto de e não seja zero, é necessário que ambos e sejam diferentes de zero. Se qualquer uma das determinantes fosse zero, o produto também seria zero, o que contradiz a condição dada.

Passo 5

Portanto, se e , isso implica que tanto quanto são matrizes inversíveis, já que suas determinantes não nulas garantem a existência de suas inversas.

Resposta

Verdadeiro. Se , então tanto quanto são inversíveis.

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