Verdadeiro
ou falso
, justifique sua resposta.
e) ( Se a det
é não nulo então as matrizes
e B são inversíveis
e) ( Se a det
Passo 1
Vamos analisar a afirmativa: “Se a determinante de
não é nula, então as matrizes
e
são inversíveis.” Esse exercício faz parte do estudo de álgebra linear, mais especificamente sobre determinantes e matrizes inversíveis. Para resolver, precisamos entender como as determinantes se comportam em multiplicações de matrizes e o que significa uma matriz ser inversível.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma matriz
é inversível se e somente se sua determinante
é diferente de zero. Isso significa que se
, então
tem uma matriz inversa tal que
existe.
Passo 3
Agora, consideremos a propriedade das determinantes em relação ao produto de matrizes:
Isso nos diz que a determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das determinantes dessas matrizes individuais.
Passo 4
Dado que
, podemos usar a propriedade acima:
Para que o produto de
e
não seja zero, é necessário que ambos
e
sejam diferentes de zero. Se qualquer uma das determinantes fosse zero, o produto também seria zero, o que contradiz a condição dada.
Passo 5
Portanto, se
e
, isso implica que tanto
quanto
são matrizes inversíveis, já que suas determinantes não nulas garantem a existência de suas inversas.
Resposta
Verdadeiro. Se
, então tanto
quanto
são inversíveis.