Verdadeiro ou falso , justifique sua resposta.
e) ( Se a det é não nulo então as matrizes e B são inversíveis
Passo 1
Vamos analisar a afirmativa: “Se a determinante de não é nula, então as matrizes e são inversíveis.” Esse exercício faz parte do estudo de álgebra linear, mais especificamente sobre determinantes e matrizes inversíveis. Para resolver, precisamos entender como as determinantes se comportam em multiplicações de matrizes e o que significa uma matriz ser inversível.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma matriz é inversível se e somente se sua determinante é diferente de zero. Isso significa que se , então tem uma matriz inversa tal que existe.
Passo 3
Agora, consideremos a propriedade das determinantes em relação ao produto de matrizes:
Isso nos diz que a determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das determinantes dessas matrizes individuais.
Passo 4
Dado que , podemos usar a propriedade acima:
Para que o produto de e não seja zero, é necessário que ambos e sejam diferentes de zero. Se qualquer uma das determinantes fosse zero, o produto também seria zero, o que contradiz a condição dada.
Passo 5
Portanto, se e , isso implica que tanto quanto são matrizes inversíveis, já que suas determinantes não nulas garantem a existência de suas inversas.
Resposta
Verdadeiro. Se , então tanto quanto são inversíveis.