Sejam
um operador linear. Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores lineares, que são funções especiais em álgebra linear que respeitam certas regras. Queremos provar que, se
(ou seja, aplicar
duas vezes é igual a zero), então a imagem de
está dentro do núcleo de
. E vice-versa! Para isso, vamos precisar entender o que são imagem (
) e núcleo (
) de um operador linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que se a gente aplicar
duas vezes em qualquer vetor
de
, o resultado vai ser o vetor zero:
Isso é o mesmo que dizer
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a imagem de
,
. Ela é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor de
:
E o núcleo de
,
, é o conjunto de vetores que são transformados no zero por
:
Passo 4
Vamos começar provando que se
, então
. Ou seja, todo vetor na imagem de
também está no núcleo de
.
Tomemos qualquer vetor
na imagem de
. Então existe algum
em
tal que
.
Aplicando
novamente, temos:
Como
, isso significa que
está no núcleo de
. Portanto, toda imagem de
está dentro do núcleo de
:
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se
, então
.
Para isso, vamos considerar qualquer vetor
em
. A imagem de
por
é
, que está na imagem de
. Como
, isso implica que:
Ou seja,
Portanto,
.
Resposta
Assim, provamos que
se, e somente se,
.