Sejam T: U U um operador linear. Prove que T^2=0 se, e somente se, Im T subset Nuc T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores lineares, que são funções especiais em álgebra linear que respeitam certas regras. Queremos provar que, se (ou seja, aplicar duas vezes é igual a zero), então a imagem de está dentro do núcleo de . E vice-versa! Para isso, vamos precisar entender o que são imagem ( ) e núcleo ( ) de um operador linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa T(T(v)) = 0 para todo v in U . Isso quer dizer que se a gente aplicar duas vezes em qualquer vetor de , o resultado vai ser o vetor zero:
Isso é o mesmo que dizer .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a imagem de Im T = T(v) mid v in U , Nuc T = v in U mid T(v) = 0 . Ela é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de :
E o núcleo de , , é o conjunto de vetores que são transformados no zero por :

Passo 4

Vamos começar provando que se T(y) = T(T(x)) = T^2(x) = 0 , então Im T subset Nuc T . Ou seja, todo vetor na imagem de também está no núcleo de .
Tomemos qualquer vetor na imagem de . Então existe algum em tal que .
Aplicando novamente, temos:
Como , isso significa que está no núcleo de . Portanto, toda imagem de está dentro do núcleo de :

Passo 5

Agora, vamos provar o contrário: se T(T(v)) = 0 , então T^2(v) = 0 para todo v in U .
Para isso, vamos considerar qualquer vetor em . A imagem de por é , que está na imagem de . Como , isso implica que:
Ou seja,
Portanto, .

Resposta

Assim, provamos que se, e somente se, .

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