Verdadeiro ou Falso?
u cdot v=0 Rightarrow u=0 ou v=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se o produto escalar de dois vetores u e v é igual a zero, então u é o vetor nulo (ou seja, u = 0) ou v é o vetor nulo ( v = 0)”. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar (ou dot product) de dois vetores. O produto escalar entre u e v é definido por:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde:
  • |u| é a magnitude (ou comprimento) do vetor u.
  • |v| é a magnitude do vetor v.
  • theta é o ângulo entre os vetores u e v.

Passo 3

Dada a equação do produto escalar, se u cdot v = 0, temos:
|u| cdot |v| cdot cos(theta) = 0
Para que o produto de três fatores seja zero, pelo menos um desses fatores deve ser igual a zero. Vamos analisar cada caso:
  1. |u| = 0: Isso significa que o vetor u é o vetor nulo, ou seja, u = 0.
  2. |v| = 0: Isso significa que o vetor v é o vetor nulo, ou seja, v = 0.
  3. cos(theta) = 0: O cosseno de theta será zero quando theta = 90^circ. Isso significa que os vetores u e v são ortogonais (ou perpendiculares), mas não necessariamente nenhum deles é nulo.

Passo 4

A afirmação da questão diz que se o produto escalar é zero, então um dos vetores deve ser nulo. No entanto, como vimos no Passo 3, também é possível que os vetores sejam ortogonais sem que nenhum deles seja o vetor nulo. Portanto, a condição de terem o produto escalar igual a zero não implica necessariamente que um dos vetores seja nulo; pode simplesmente significar que os vetores são perpendiculares.

Resposta

FALSO. Se u cdot v = 0, pode ser que um dos vetores seja nulo ou que os vetores sejam ortogonais (perpendiculares) sem que nenhum deles seja nulo.

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