Verdadeiro ou Falso?
ou
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se o produto escalar de dois vetores
e
é igual a zero, então
é o vetor nulo (ou seja,
) ou
é o vetor nulo (
)”. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial para analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar (ou dot product) de dois vetores. O produto escalar entre
e
é definido por:
Onde:
-
é a magnitude (ou comprimento) do vetor . -
é a magnitude do vetor . -
é o ângulo entre os vetores e .
Passo 3
Dada a equação do produto escalar, se
, temos:
Para que o produto de três fatores seja zero, pelo menos um desses fatores deve ser igual a zero. Vamos analisar cada caso:
-
: Isso significa que o vetor é o vetor nulo, ou seja, . -
: Isso significa que o vetor é o vetor nulo, ou seja, . -
: O cosseno de será zero quando . Isso significa que os vetores e são ortogonais (ou perpendiculares), mas não necessariamente nenhum deles é nulo.
Passo 4
A afirmação da questão diz que se o produto escalar é zero, então um dos vetores deve ser nulo. No entanto, como vimos no Passo 3, também é possível que os vetores sejam ortogonais sem que nenhum deles seja o vetor nulo. Portanto, a condição de terem o produto escalar igual a zero não implica necessariamente que um dos vetores seja nulo; pode simplesmente significar que os vetores são perpendiculares.
Resposta
FALSO. Se
, pode ser que um dos vetores seja nulo ou que os vetores sejam ortogonais (perpendiculares) sem que nenhum deles seja nulo.