F(z)=(raiz22+i raiz22) z e G(z)=i z, z in C Calcular:
a) F^2;
b) F^4;
c) ^2 ^2;
d) F circ G;
e) (F circ G) circ(F circ G).

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. Temos duas funções definidas sobre os números complexos:
O objetivo é calcular as seguintes operações:
a)
b)
c)
d)
e)
Para resolver isso, vamos precisar entender como elevar funções a potências e como compô-las. Vamos por partes!

Passo 2

a) Calculando F^2(z) = F(F(z))
Primeiro, F(F(z)) = ( raiz22 + i raiz22 ) ( raiz22 + i raiz22 ) z significa aplicar a função ( raiz22 + i raiz22 )^2 = ( 24 + i 2raiz24 - 24 ) = i raiz21 cdot raiz22 = i duas vezes. Ou seja:
F^2(z) = i z
Vamos substituir :
Agora, multiplicamos os termos:
Portanto:

Passo 3

b) Calculando F^4(z) = F^2(F^2(z))
Sabemos que:
F^4(z) = F^2(i z) = i (i z) = i^2 z = -z
Já calculamos F^4(z) = -z , então:
Então:

Passo 4

c) Calculando F^4(z) = -z (que é )
Essa parte parece ser uma repetição de , que já calculamos:

Passo 5

d) Calculando (F circ G)(z) = F(G(z)) = F(i z) = ( raiz22 + i raiz22 ) (i z)
A composição ( raiz22 + i raiz22 ) i = raiz22 i + i^2 raiz22 = raiz22 i - raiz22 = -raiz22 + i raiz22 significa aplicar (F circ G)(z) = ( -raiz22 + i raiz22 ) z e depois . Então:
Multiplicando os fatores complexos:
Portanto:

Passo 6

e) Calculando (H circ H)(z) = H(H(z)) = ( -raiz22 + i raiz22 ) ( -raiz22 + i raiz22 ) z
Primeiro, vamos chamar ( -raiz22 + i raiz22 )^2 = ( 24 - i 2raiz24 - 24 ) = -i raiz21 cdot raiz22 = -i . Então:
(H circ H)(z) = -i z
Multiplicando os termos:
Portanto:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)

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