Sejam u e v dois vetores não nulos. Prove que se ang<=(u, v) é agudo, então u cdot v>0. Enuncie e prove resultado semelhante supondo que ang<=(u, v) é obtuso.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores não nulos, u e v. Precisamos provar que se o ângulo entre eles, ang<=(u, v), é agudo, então o produto escalar u cdot v é maior que zero. Além disso, devemos enunciar e demonstrar um resultado semelhante para o caso em que o ângulo é obtuso. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto escalar e as propriedades dos ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de u e v é dado por:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
onde |u| e |v| são as normas dos vetores u e v, respectivamente, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Sabemos que um ângulo é agudo quando está entre 0 e 90 graus, ou seja, 0 < theta < pi2 radianos. Nessa faixa, o cosseno do ângulo é positivo, pois cos(theta) > 0.

Passo 4

Vamos analisar a expressão do produto escalar novamente:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Como u e v são vetores não nulos, suas normas são positivas: |u| > 0 e |v| > 0. Além disso, como o ângulo theta é agudo, cos(theta) > 0.

Passo 5

Multiplicando todos os termos positivos, obtemos que:
u cdot v > 0
Portanto, se o ângulo entre u e v é agudo, o produto escalar u cdot v é positivo.

Passo 6

Agora, vamos enunciar e provar um resultado semelhante para o caso em que o ângulo entre os vetores é obtuso. Um ângulo é obtuso quando está entre 90 e 180 graus, ou seja, pi2 < theta < pi radianos. Nessa faixa, o cosseno do ângulo é negativo, pois cos(theta) < 0.

Passo 7

Voltando à definição do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Novamente, |u| > 0 e |v| > 0, mas agora cos(theta) < 0 devido ao ângulo obtuso.

Passo 8

Multiplicando um número positivo por outro positivo e por um número negativo, temos:
u cdot v < 0
Isso mostra que se o ângulo entre u e v é obtuso, então o produto escalar u cdot v é negativo.

Resposta

Portanto, se o ângulo entre dois vetores não nulos u e v é agudo, então u cdot v > 0. Por outro lado, se o ângulo entre eles é obtuso, então u cdot v < 0.

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