Sejam
e
dois vetores não nulos. Prove que se
é agudo, então
. Enuncie e prove resultado semelhante supondo que
é obtuso.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores não nulos,
e
. Precisamos provar que se o ângulo entre eles,
, é agudo, então o produto escalar
é maior que zero. Além disso, devemos enunciar e demonstrar um resultado semelhante para o caso em que o ângulo é obtuso. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto escalar e as propriedades dos ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição do produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de
e
é dado por:
onde
e
são as normas dos vetores
e
, respectivamente, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Sabemos que um ângulo é agudo quando está entre
e
graus, ou seja,
radianos. Nessa faixa, o cosseno do ângulo é positivo, pois
.
Passo 4
Vamos analisar a expressão do produto escalar novamente:
Como
e
são vetores não nulos, suas normas são positivas:
e
. Além disso, como o ângulo
é agudo,
.
Passo 5
Multiplicando todos os termos positivos, obtemos que:
Portanto, se o ângulo entre
e
é agudo, o produto escalar
é positivo.
Passo 6
Agora, vamos enunciar e provar um resultado semelhante para o caso em que o ângulo entre os vetores é obtuso. Um ângulo é obtuso quando está entre
e
graus, ou seja,
radianos. Nessa faixa, o cosseno do ângulo é negativo, pois
.
Passo 7
Voltando à definição do produto escalar:
Novamente,
e
, mas agora
devido ao ângulo obtuso.
Passo 8
Multiplicando um número positivo por outro positivo e por um número negativo, temos:
Isso mostra que se o ângulo entre
e
é obtuso, então o produto escalar
é negativo.
Resposta
Portanto, se o ângulo entre dois vetores não nulos
e
é agudo, então
. Por outro lado, se o ângulo entre eles é obtuso, então
.