Se um vetor
é simultaneamente ortogonal a dois vetores
e
, mostre que
é ortogonal a todas as combinações lineares de
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. O enunciado nos diz que um vetor
é ortogonal a dois vetores
e
. Nosso objetivo é mostrar que
também é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores
e
. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como funciona uma combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles for igual a zero. Ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar uma combinação linear de
e
. Isso significa que qualquer vetor
pode ser escrito como
, onde
e
são escalares (números reais).
Passo 4
Para mostrar que
é ortogonal a
, precisamos calcular o produto interno
e mostrar que ele é igual a zero. Vamos substituir
na expressão:
Passo 5
Utilizamos a propriedade distributiva do produto interno, que nos permite separar a expressão:
Passo 6
Sabemos, pelo enunciado, que
e
. Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja,
é ortogonal a todas as combinações lineares de
e
.