Se um vetor u é simultaneamente ortogonal a dois vetores v e w, mostre que u é ortogonal a todas as combinações lineares de v e w.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. O enunciado nos diz que um vetor é ortogonal a dois vetores e . Nosso objetivo é mostrar que também é ortogonal a qualquer combinação linear desses vetores e . Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como funciona uma combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles for igual a zero. Ou seja, e .

Passo 3

Agora, vamos considerar uma combinação linear de e . Isso significa que qualquer vetor pode ser escrito como , onde e são escalares (números reais).

Passo 4

Para mostrar que u cdot z = u cdot (av + bw) é ortogonal a , precisamos calcular o produto interno e mostrar que ele é igual a zero. Vamos substituir na expressão:

Passo 5

Utilizamos a propriedade distributiva do produto interno, que nos permite separar a expressão:
u cdot (av + bw) = a(u cdot v) + b(u cdot w)

Passo 6

Sabemos, pelo enunciado, que a(0) + b(0) = 0 + 0 = 0 e . Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, é ortogonal a todas as combinações lineares de e .

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