Quais das transformações abaixo são lineares?
(f) T: M2 times 2(R) longrightarrow R, T(A)=A11 A22-A21 A12.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você me enviou! A questão pede para a gente verificar se uma certa transformação é linear. O conteúdo aqui é da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e aplicar essa definição à transformação que foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Escalar: para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à transformação que foi dada:
T: M2 times 2(R) longrightarrow R, T(A) = A11A22 - A21A12
Essa transformação está calculando o determinante de uma matriz .

Passo 4

Sabemos que o determinante não é uma transformação linear. Para ver por quê, vamos testar as duas propriedades que faltam para uma transformação ser linear.
Primeiro, vamos testar a adição. Suponha que temos duas matrizes T(A + B) = (A11 + B11)(A22 + B22) - (A21 + B21)(A12 + B12) e A11A22 + A11B22 + B11A22 + B11B22 - A21A12 - A21B12 - B21A12 - B21B12 :
T(A) + T(B) = (A11A22 - A21A12) + (B11B22 - B21B12)
Expandindo isso, teremos:
T(A + B) neq T(A) + T(B)
Agora, se a transformação fosse linear, isso deveria ser igual a :
Observamos que os termos cruzados não estão presentes em , mostrando que:

Passo 5

Além disso, podemos testar a propriedade do escalar. Seja T(cA) = (cA)11(cA)22 - (cA)21(cA)12 = c^2(A11A22 - A21A12) um número real e cT(A) = c(A11A22 - A21A12) uma matriz qualquer:
Por outro lado:
Claramente, e não , a menos que ou , o que não é geral.

Resposta

Como e , a transformação não é linear.

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