Quais das transformações abaixo são lineares?
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que você me enviou! A questão pede para a gente verificar se uma certa transformação é linear. O conteúdo aqui é da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e aplicar essa definição à transformação que foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à transformação que foi dada:
Essa transformação está calculando o determinante de uma matriz
.
Passo 4
Sabemos que o determinante não é uma transformação linear. Para ver por quê, vamos testar as duas propriedades que faltam para uma transformação ser linear.
Primeiro, vamos testar a adição. Suponha que temos duas matrizes
e
:
Expandindo isso, teremos:
Agora, se a transformação fosse linear, isso deveria ser igual a
:
Observamos que os termos cruzados
não estão presentes em
, mostrando que:
Passo 5
Além disso, podemos testar a propriedade do escalar. Seja
um número real e
uma matriz qualquer:
Por outro lado:
Claramente,
e não
, a menos que
ou
, o que não é geral.
Resposta
Como
e
, a transformação
não é linear.