Em cada item abaixo escreva w como combinação linear de u e v :
w=(4,1), u=(3,-6) e v=(1,1)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que precisamos escrever o vetor w = (4,1) como uma combinação linear dos vetores u = (3,-6) e v = (1,1). Isso faz parte do estudo de combinações lineares em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os coeficientes que multiplicam u e v de forma que, quando somados, resultem em w.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a combinação linear de u e v com coeficientes desconhecidos a e b. Ou seja:
a cdot u + b cdot v = w
Substituindo os vetores pelos seus valores:
a cdot (3, -6) + b cdot (1, 1) = (4, 1)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os coeficientes pelos vetores:
(3a, -6a) + (b, b) = (4, 1)
Em seguida, somamos as componentes correspondentes:
(3a + b, -6a + b) = (4, 1)
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. 3a + b = 4
  2. -6a + b = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos resolver pela substituição ou eliminação. Vou usar a eliminação aqui.
Primeiro, subtraímos a segunda equação da primeira:
(3a + b) - (-6a + b) = 4 - 1
Isso simplifica para:
9a = 3
Então, dividindo ambos os lados por 9:
a = 39 = 13
Agora que temos o valor de a, podemos substituir na primeira equação para encontrar b:
3 cdot 13 + b = 4
1 + b = 4
b = 4 - 1 = 3

Resposta

Portanto, o vetor w = (4,1) pode ser escrito como combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = 13 cdot u + 3 cdot v

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