Sejam U=[(1,0,0),(1,1,1)] e V=[(0,1,0),(0,0,1)] subespaços gerados do R^3. Determine:
(a) uma base e a dimensão de U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois subespaços, e , dentro do espaço tridimensional . O é gerado pelos vetores e , e o é gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, , e também descobrir qual é a dimensão dessa interseção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e solução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção . Essa interseção é o conjunto de todos os vetores que estão tanto em quanto em . Ou seja, precisamos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores que geram e também como combinação linear dos vetores que geram .

Passo 3

Vamos expressar isso matematicamente. Um vetor x = a(1,0,0) + b(1,1,1) está em x = (a + b, b, b) se existe um x = c(0,1,0) + d(0,0,1) e um x = (0, c, d) tais que:
Isso nos dá:
Por outro lado, está em se existe um e um tais que:
Isso resulta em:

Passo 4

Agora, como (a + b, b, b) = (0, c, d) está em ambos os subespaços, podemos igualar as duas expressões para a + b = 0 b = c b = d :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, temos x = (0, b, b) . Da segunda e terceira equações, vemos que e . Portanto, todos os vetores na interseção podem ser escritos como:
Onde é um parâmetro real.

Passo 6

Isso significa que todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor . Portanto, uma base para é o conjunto que contém apenas esse vetor.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é .

Exercícios relacionados

Resolver o sistema:
l x1^prime(t)=d x1d t=4 x1(t)-3 x2(t) x2^prime(t)=d x2d t=5 x1(t)-4 x2(t)
com condição inicial x1(0)=1, x2(0)=2.
Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta3=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2. Encontre a matrizes mudança de base:
(b) ii. beta1
(b) (10 pontos) Qual é o elemento neutro da operação *?
(a) (5 pontos) Calcule (2,3) *(1,-4).