Sejam e subespaços gerados do . Determine:
(a) uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois subespaços, e , dentro do espaço tridimensional . O é gerado pelos vetores e , e o é gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, , e também descobrir qual é a dimensão dessa interseção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e solução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção . Essa interseção é o conjunto de todos os vetores que estão tanto em quanto em . Ou seja, precisamos encontrar todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores que geram e também como combinação linear dos vetores que geram .
Passo 3
Vamos expressar isso matematicamente. Um vetor está em se existe um e um tais que:
Isso nos dá:
Por outro lado, está em se existe um e um tais que:
Isso resulta em:
Passo 4
Agora, como está em ambos os subespaços, podemos igualar as duas expressões para :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, temos x = (0, b, b) . Da segunda e terceira equações, vemos que e . Portanto, todos os vetores na interseção podem ser escritos como:
Onde é um parâmetro real.
Passo 6
Isso significa que todos os vetores na interseção são múltiplos do vetor . Portanto, uma base para é o conjunto que contém apenas esse vetor.