Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta3=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2. Encontre a matrizes mudança de base:
(b) ii. beta1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão nos dá várias bases ordenadas de , especificamente a base padrão e outras bases como . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz de mudança de base para a base . Isso envolve entender como transformar coordenadas de uma base para outra, usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter de para a base padrão . Para isso, precisamos expressar os vetores da base em termos da base .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores da base beta1 = , v1 = (-1, 1), , v2 = (1, 1) , . Temos:
Como a base é a base padrão, os vetores já estão expressos em termos dela. Ou seja, cada vetor de já está na forma da base padrão.

Passo 4

Com isso, a matriz de mudança de base de M = -1 & 1 1 & 1 para é simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores de expressos na base . Então, organizamos os vetores como colunas:
Essa é a matriz que vai transformar coordenadas de para .

Resposta

A matriz de mudança de base de -1 & 1 1 & 1 para a base padrão é:

Exercícios relacionados

Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
e. (rr8 & -2 16 & -4)
Verificar se a matriz A=(cc-3 & 4 -1 & 2) é diagonalizável ou não ?
Resolver o sistema:
l x1^prime(t)=d x1d t=4 x1(t)-3 x2(t) x2^prime(t)=d x2d t=5 x1(t)-4 x2(t)
com condição inicial x1(0)=1, x2(0)=2.
Sejam U=[(1,0,0),(1,1,1)] e V=[(0,1,0),(0,0,1)] subespaços gerados do R^3. Determine:
(a) uma base e a dimensão de U cap W.