Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta3=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2. Encontre a matrizes mudança de base:
(b) ii. beta1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão nos dá várias bases ordenadas de , especificamente a base padrão e outras bases como . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz de mudança de base para a base . Isso envolve entender como transformar coordenadas de uma base para outra, usando conceitos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, essa matriz serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. No nosso caso, queremos converter de para a base padrão . Para isso, precisamos expressar os vetores da base em termos da base .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores da base beta1 = , v1 = (-1, 1), , v2 = (1, 1) , . Temos:
Como a base é a base padrão, os vetores já estão expressos em termos dela. Ou seja, cada vetor de já está na forma da base padrão.

Passo 4

Com isso, a matriz de mudança de base de M = -1 & 1 1 & 1 para é simplesmente a matriz cujas colunas são os vetores de expressos na base . Então, organizamos os vetores como colunas:
Essa é a matriz que vai transformar coordenadas de para .

Resposta

A matriz de mudança de base de -1 & 1 1 & 1 para a base padrão é:

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