Resolver o sistema:
l x1^prime(t)=d x1d t=4 x1(t)-3 x2(t) x2^prime(t)=d x2d t=5 x1(t)-4 x2(t)
com condição inicial x1(0)=1, x2(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O que temos aqui é um sistema de duas equações lineares envolvendo derivadas de e . O conteúdo que vamos usar é sistemas de equações diferenciais lineares, e para isso, precisamos entender como encontrar soluções usando autovalores e autovetores. Também vamos precisar aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais simples para visualizarmos melhor:
x1'(t) = 4x1(t) - 3x2(t) x2'(t) = 5x1(t) - 4x2(t)
Aqui, e representam as derivadas de e em relação ao tempo .

Passo 3

Agora, vamos representar esse sistema em forma matricial. Isso facilita bastante na hora de encontrar soluções. A forma matricial fica assim:
X'(t) = A X(t)
Onde:
X(t) = x1(t) x2(t) e A = 4 & -3 5 & -4

Passo 4

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) da matriz A - lambda I = 4 - lambda & -3 5 & -4 - lambda . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
(4 - lambda)(-4 - lambda) - (-3)(5) = (lambda^2) - (-4 + 4)lambda + ( -16 + 15 ) = lambda^2 - 0lambda -1 = lambda^2 -1 = 0
Onde lambda = 1 ou lambda = -1 é a matriz identidade. Vamos calcular:
Então, o determinante fica:
Resolvendo , temos:

Passo 5

Agora que temos os autovalores A - I = 3 & -3 5 & -5 e 1 1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A + I = 5 & -3 5 & -3 , resolvemos 3 5 .
Para :
Resolvendo , temos . Podemos escolher .
Para :
Resolvendo , temos . Podemos escolher .

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
X(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
Substituindo:
X(t) = C1 e^t 1 1 + C2 e^-t 3 5
Isso significa que:
x1(t) = C1 e^t + 3C2 e^-t
x2(t) = C1 e^t + 5C2 e^-t

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais x1(0) = C1 + 3C2 = 1 e x2(0) = C1 + 5C2 = 2 para encontrar os valores das constantes ( C1 + 5C2 ) - ( C1 + 3C2 ) = 2 - 1 2C2 = 1 C2 = 12 e C1 + 3 ( 12 ) = 1 C1 + 32 = 1 C1 = 1 - 32 C1 = -12 .
Substituindo :
Vamos resolver esse sistema de equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x1(t) = -12 e^t + 32 e^-t
x2(t) = -12 e^t + 52 e^-t

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