Resolver o sistema:
com condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O que temos aqui é um sistema de duas equações lineares envolvendo derivadas de
e
. O conteúdo que vamos usar é sistemas de equações diferenciais lineares, e para isso, precisamos entender como encontrar soluções usando autovalores e autovetores. Também vamos precisar aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais simples para visualizarmos melhor:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação ao tempo
.
Passo 3
Agora, vamos representar esse sistema em forma matricial. Isso facilita bastante na hora de encontrar soluções. A forma matricial fica assim:
Onde:
Passo 4
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular:
Então, o determinante fica:
Resolvendo
, temos:
Passo 5
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Resolvendo
, temos
. Podemos escolher
.
Para
:
Resolvendo
, temos
. Podemos escolher
.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo:
Isso significa que:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais
e
para encontrar os valores das constantes
e
.
Substituindo
:
Vamos resolver esse sistema de equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do sistema é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
bases ordenadas de
. Encontre a matrizes mudança de base:
(b) ii.
(b) ii.
Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
e.
e.
Sejam
e
subespaços gerados do
. Determine:
(a) uma base e a dimensão de .
(a) uma base e a dimensão de
(b) (10 pontos) Qual é o elemento neutro da operação *?