Sejam e subespaços vetoriais de , definidos por: a) Determine uma base para e indique a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais, e , dentro de . Mas hoje vamos focar no . Nossa missão aqui é encontrar uma base para e descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sistemas de equações e como eles definem subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar direitinho como está definido. A definição de é o conjunto de vetores em que satisfazem duas condições: Essas duas equações nos dizem que nem todos os valores de são permitidos em ; eles têm que seguir essas regras específicas.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações pra expressar algumas variáveis em termos de outras. Olhando para as equações: 1. Da segunda equação, temos direto que . 2. Da primeira equação, podemos isolar em função de e : Então, nossas variáveis livres aqui serão e , porque podemos escolher qualquer valor pra elas e então determinar .

Passo 4

Agora, vamos expressar um vetor genérico de usando essas variáveis livres. Sabendo que e , podemos escrever: Para facilitar, vamos separar isso em termos de e : Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Com base nisso, podemos identificar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores que são **linearmente independentes** e que **geram todo o subespaço**. Os vetores que encontramos, e , cumprem esses requisitos:

Passo 6

Agora, para descobrir a dimensão de , lembramos que a dimensão é simplesmente o número de vetores na base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para é e .

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