Sejam
e
subespaços vetoriais de
, definidos por:
a) Determine uma base para
e indique a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais,
e
, dentro de
. Mas hoje vamos focar no
. Nossa missão aqui é encontrar uma base para
e descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sistemas de equações e como eles definem subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar direitinho como
está definido. A definição de
é o conjunto de vetores
em
que satisfazem duas condições:
Essas duas equações nos dizem que nem todos os valores de
são permitidos em
; eles têm que seguir essas regras específicas.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações pra expressar algumas variáveis em termos de outras. Olhando para as equações:
- Da segunda equação, temos direto que
. - Da primeira equação, podemos isolar
em função de e :
Então, nossas variáveis livres aqui serão
e
, porque podemos escolher qualquer valor pra elas e então determinar
.
Passo 4
Agora, vamos expressar um vetor genérico de
usando essas variáveis livres. Sabendo que
e
, podemos escrever:
Para facilitar, vamos separar isso em termos de
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Com base nisso, podemos identificar uma base para
. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Os vetores que encontramos,
e
, cumprem esses requisitos:
Passo 6
Agora, para descobrir a dimensão de
, lembramos que a dimensão é simplesmente o número de vetores na base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de
é 2.
Resposta
Uma base para
é
e
.