Sejam U e V subespaços vetoriais de R^4, definidos por:
c U=(x, y, z, t) in R^4 ; x+2 y-z=0 e t=0 V=[(-1,2,3,0),(3,1,4,0)]
a) Determine uma base para U e indique a dim U.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais, e , dentro de . Mas hoje vamos focar no . Nossa missão aqui é encontrar uma base para e descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sistemas de equações e como eles definem subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar direitinho como x + 2y - z = 0 t = 0 está definido. A definição de é o conjunto de vetores em que satisfazem duas condições:
Essas duas equações nos dizem que nem todos os valores de são permitidos em ; eles têm que seguir essas regras específicas.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações pra expressar algumas variáveis em termos de outras. Olhando para as equações:
  1. Da segunda equação, temos direto que x = -2y + z .
  2. Da primeira equação, podemos isolar em função de e :
Então, nossas variáveis livres aqui serão e , porque podemos escolher qualquer valor pra elas e então determinar .

Passo 4

Agora, vamos expressar um vetor genérico de (x, y, z, t) = (-2y + z, , y, , z, , 0) usando essas variáveis livres. Sabendo que = y cdot (-2, , 1, , 0, , 0) + z cdot (1, , 0, , 1, , 0) e , podemos escrever:
Para facilitar, vamos separar isso em termos de e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Com base nisso, podemos identificar uma base para Base de U = , (-2, , 1, , 0, , 0), ; (1, , 0, , 1, , 0) , . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Os vetores que encontramos, e , cumprem esses requisitos:

Passo 6

Agora, para descobrir a dimensão de , lembramos que a dimensão é simplesmente o número de vetores na base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para é e .

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