Sejam e subespaços vetoriais de , definidos por:
a) Determine uma base para e indique a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais, e , dentro de . Mas hoje vamos focar no . Nossa missão aqui é encontrar uma base para e descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sistemas de equações e como eles definem subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar direitinho como está definido. A definição de é o conjunto de vetores em que satisfazem duas condições:
Essas duas equações nos dizem que nem todos os valores de são permitidos em ; eles têm que seguir essas regras específicas.
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações pra expressar algumas variáveis em termos de outras. Olhando para as equações:
1. Da segunda equação, temos direto que .
2. Da primeira equação, podemos isolar em função de e :
Então, nossas variáveis livres aqui serão e , porque podemos escolher qualquer valor pra elas e então determinar .
Passo 4
Agora, vamos expressar um vetor genérico de usando essas variáveis livres. Sabendo que e , podemos escrever:
Para facilitar, vamos separar isso em termos de e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 5
Com base nisso, podemos identificar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores que são **linearmente independentes** e que **geram todo o subespaço**. Os vetores que encontramos, e , cumprem esses requisitos:
Passo 6
Agora, para descobrir a dimensão de , lembramos que a dimensão é simplesmente o número de vetores na base. Como nossa base tem 2 vetores, a dimensão de é 2.
Resposta
Uma base para é e .
Exercícios relacionados
Mostre que é uma base para o espaço vetorial .
Julgue verdadeiro ou falso os itens a seguir. Justifique!
a) O conjunto é um subespaço vetorial de .
Sejam e subespaços vetoriais de , definidos por:
b) Determine uma base para e indique .
Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.