Sejam U e V subespaços vetoriais de R^4, definidos por:
c U=(x, y, z, t) in R^4 ; x+2 y-z=0 e t=0 V=[(-1,2,3,0),(3,1,4,0)]
b) Determine uma base para U cap V e indique dim U cap V.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais, e , dentro de . A pergunta é para a gente encontrar uma base para a interseção desses dois subespaços, , e descobrir a dimensão dessa interseção. Para resolver isso, vamos precisar mexer com sistemas de equações e combinar vetores de de forma que eles também pertençam a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são os vetores de cada subespaço. O subespaço U = (x, y, z, t) in R^4 ;|; x + 2y - z = 0 e t = 0 é definido por:
V = a cdot (-1, 2, 3, 0) + b cdot (3, 1, 4, 0) ;|; a, b in R
Isso significa que qualquer vetor em precisa satisfazer essas duas equações.
Já o subespaço é gerado pelos vetores e . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores:

Passo 3

Para encontrar v = a cdot (-1, 2, 3, 0) + b cdot (3, 1, 4, 0) = (-a + 3b,; 2a + b,; 3a + 4b,; 0) , precisamos encontrar todos os vetores que estão em x + 2y - z = 0 e t = 0 e também satisfazem as condições de . Vamos chamar um vetor genérico de de :
Agora, para esse vetor estar em , ele precisa satisfazer:
Já sabemos que porque ambos os vetores geradores de têm . Então, só precisamos garantir que .

Passo 4

Vamos substituir os valores de (-a + 3b) + 2(2a + b) - (3a + 4b) = 0 , -a + 3b + 4a + 2b - 3a - 4b = 0 e (-a + 4a - 3a) + (3b + 2b - 4b) = 0 Rightarrow 0a + b = 0 na equação :
Vamos simplificar isso:
Agrupando os termos semelhantes:
Então, temos que .

Passo 5

Com x = -a + 3(0) = -a y = 2a + 0 = 2a z = 3a + 4(0) = 3a t = 0 , podemos encontrar v = (-a, 2a, 3a, 0) = a cdot (-1, 2, 3, 0) usando as expressões de , e :
Então, qualquer vetor na interseção é da forma:
Isso significa que todos os vetores em são múltiplos do vetor .

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é .

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