Sejam
e
subespaços vetoriais de
, definidos por:
b) Determine uma base para
e indique
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais,
e
, dentro de
. A pergunta é para a gente encontrar uma base para a interseção desses dois subespaços,
, e descobrir a dimensão dessa interseção. Para resolver isso, vamos precisar mexer com sistemas de equações e combinar vetores de
de forma que eles também pertençam a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são os vetores de cada subespaço. O subespaço
é definido por:
Isso significa que qualquer vetor em
precisa satisfazer essas duas equações.
Já o subespaço
é gerado pelos vetores
e
. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores:
Passo 3
Para encontrar
, precisamos encontrar todos os vetores que estão em
e também satisfazem as condições de
. Vamos chamar um vetor genérico de
de
:
Agora, para esse vetor estar em
, ele precisa satisfazer:
Já sabemos que
porque ambos os vetores geradores de
têm
. Então, só precisamos garantir que
.
Passo 4
Vamos substituir os valores de
,
e
na equação
:
Vamos simplificar isso:
Agrupando os termos semelhantes:
Então, temos que
.
Passo 5
Com
, podemos encontrar
usando as expressões de
,
e
:
Então, qualquer vetor na interseção
é da forma:
Isso significa que todos os vetores em
são múltiplos do vetor
.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
subespaços vetoriais de
, definidos por:
a) Determine uma base para
e indique a
.
Mostre que
é uma base para o espaço vetorial
.
Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.