Sejam e subespaços vetoriais de , definidos por:
b) Determine uma base para e indique .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois subespaços vetoriais, e , dentro de . A pergunta é para a gente encontrar uma base para a interseção desses dois subespaços, , e descobrir a dimensão dessa interseção. Para resolver isso, vamos precisar mexer com sistemas de equações e combinar vetores de de forma que eles também pertençam a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são os vetores de cada subespaço. O subespaço é definido por:
Isso significa que qualquer vetor em precisa satisfazer essas duas equações.
Já o subespaço é gerado pelos vetores e . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores:

Passo 3

Para encontrar , precisamos encontrar todos os vetores que estão em e também satisfazem as condições de . Vamos chamar um vetor genérico de de :
Agora, para esse vetor estar em , ele precisa satisfazer:
Já sabemos que porque ambos os vetores geradores de têm . Então, só precisamos garantir que .

Passo 4

Vamos substituir os valores de , e na equação :
Vamos simplificar isso:
Agrupando os termos semelhantes:
Então, temos que .

Passo 5

Com , podemos encontrar usando as expressões de , e :
Então, qualquer vetor na interseção é da forma:
Isso significa que todos os vetores em são múltiplos do vetor .

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é .

Exercícios relacionados

Sejam e subespaços vetoriais de , definidos por:
a) Determine uma base para e indique a .
Mostre que é uma base para o espaço vetorial .
Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.