Mostre que alpha=[ll1 & 0 0 & 1],[ll2 & 0 0 & 0],[rr0 & -1 1 & 0],[ll1 & 0 3 & 1] é uma base para o espaço vetorial M2 times 2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado por quatro matrizes é uma base para o espaço vetorial . Isso significa que precisamos verificar duas coisas: se as matrizes são linearmente independentes e se elas geram todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ser linearmente independente e como verificar se um conjunto gera um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, estamos trabalhando com o espaço das matrizes , que tem dimensão 4. Ou seja, precisamos de 4 matrizes que não possam ser escritas como combinações lineares umas das outras e que consigam representar qualquer matriz através de combinações lineares.

Passo 3

Para verificar se as matrizes de A1 = 1 & 0 0 & 1, A2 = 2 & 0 0 & 0, A3 = 0 & -1 1 & 0, A4 = 1 & 0 3 & 1 são linearmente independentes, vamos montar uma combinação linear delas igual a zero e ver se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero. Se sim, elas são independentes. Vamos chamar as matrizes de c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 + c4 A4 = 0 de c1 1 & 0 0 & 1 + c2 2 & 0 0 & 0 + c3 0 & -1 1 & 0 + c4 1 & 0 3 & 1 = 0 & 0 0 & 0 e :
Queremos encontrar escalares tais que:
Isso resulta na matriz zero:

Passo 4

Vamos somar as matrizes:

[
c1 + 2c2 + c4 & -c3 c3 + 3c4 & c1 + c4 = 0 & 0 0 & 0

c1 + 2c2 + c4 = 0 -c3 = 0 c3 + 3c4 = 0 c1 + c4 = 0
]
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Da terceira equação: .
  3. Da quarta equação: .
  4. Da primeira equação: .

Passo 6

Como a única solução para o sistema é , isso significa que as matrizes e são linearmente independentes.

Passo 7

Agora, como o espaço tem dimensão 4 e temos 4 matrizes que são linearmente independentes, concluímos que essas matrizes geram o espaço. Portanto, o conjunto é uma base para .

Resposta

O conjunto é de fato uma base para o espaço vetorial .

Exercícios relacionados