Mostre que é uma base para o espaço vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado por quatro matrizes é uma base para o espaço vetorial . Isso significa que precisamos verificar duas coisas: se as matrizes são linearmente independentes e se elas geram todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ser linearmente independente e como verificar se um conjunto gera um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, estamos trabalhando com o espaço das matrizes , que tem dimensão 4. Ou seja, precisamos de 4 matrizes que não possam ser escritas como combinações lineares umas das outras e que consigam representar qualquer matriz através de combinações lineares.

Passo 3

Para verificar se as matrizes de são linearmente independentes, vamos montar uma combinação linear delas igual a zero e ver se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero. Se sim, elas são independentes. Vamos chamar as matrizes de de e :
Queremos encontrar escalares tais que:
Isso resulta na matriz zero:

Passo 4

Vamos somar as matrizes:

[


]
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. Da segunda equação: .
  2. Da terceira equação: .
  3. Da quarta equação: .
  4. Da primeira equação: .

Passo 6

Como a única solução para o sistema é , isso significa que as matrizes e são linearmente independentes.

Passo 7

Agora, como o espaço tem dimensão 4 e temos 4 matrizes que são linearmente independentes, concluímos que essas matrizes geram o espaço. Portanto, o conjunto é uma base para .

Resposta

O conjunto é de fato uma base para o espaço vetorial .

Exercícios relacionados

Julgue verdadeiro ou falso os itens a seguir. Justifique!
a) O conjunto é um subespaço vetorial de .
Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
k)
Sejam e subespaços vetoriais de , definidos por:
a) Determine uma base para e indique a .
Sejam e subespaços vetoriais de , definidos por:
b) Determine uma base para e indique .