Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado por quatro matrizes é uma base para o espaço vetorial . Isso significa que precisamos verificar duas coisas: se as matrizes são linearmente independentes e se elas geram todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa ser linearmente independente e como verificar se um conjunto gera um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, estamos trabalhando com o espaço das matrizes , que tem dimensão 4. Ou seja, precisamos de 4 matrizes que não possam ser escritas como combinações lineares umas das outras e que consigam representar qualquer matriz através de combinações lineares.
Passo 3
Para verificar se as matrizes de são linearmente independentes, vamos montar uma combinação linear delas igual a zero e ver se a única solução possível é que todos os coeficientes sejam zero. Se sim, elas são independentes. Vamos chamar as matrizes de de e :
Queremos encontrar escalares tais que:
Isso resulta na matriz zero:
Passo 4
Vamos somar as matrizes:
[
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: .
Da terceira equação: .
Da quarta equação: .
Da primeira equação: .
Passo 6
Como a única solução para o sistema é , isso significa que as matrizes e são linearmente independentes.
Passo 7
Agora, como o espaço tem dimensão 4 e temos 4 matrizes que são linearmente independentes, concluímos que essas matrizes geram o espaço. Portanto, o conjunto é uma base para .
Resposta
O conjunto é de fato uma base para o espaço vetorial .