Julgue verdadeiro ou falso os itens a seguir. Justifique!
a) O conjunto D=(x, y) in R^2 / x^2+y^2 <= 1 é um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Precisamos julgar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar se satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor pertence a .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em 0^2 + 0^2 = 0 <= 1 é . Vamos verificar se ele pertence a :
Como a desigualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos verificar se a soma de dois vetores quaisquer em x1^2 + y1^2 <= 1 e x2^2 + y2^2 <= 1 também está em u + v = (x1 + x2, y1 + y2) .
Sejam (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 <= 1 e u + v = (2, 0) em 2^2 + 0^2 = 4 n<= 1 , então:
Vamos somar os vetores:
Para verificar se está em , precisamos que:
No entanto, mesmo que e , não há garantia de que . Por exemplo, se e , então:
Portanto, a soma de dois vetores em pode sair de , o que significa que não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Embora já tenhamos encontrado um problema na segunda condição, vamos verificar a terceira para completar a análise.
Seja x^2 + y^2 <= 1 em cu = (cx, cy) e (cx)^2 + (cy)^2 = c^2(x^2 + y^2) <= 1 um escalar. Então:
Multiplicando por :
Para que esteja em :
Se , mesmo que , temos , o que significa que não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Falso. O conjunto não é um subespaço vetorial de porque, embora contenha o vetor zero, não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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