Julgue verdadeiro ou falso os itens a seguir. Justifique!
a) O conjunto é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Precisamos julgar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar se satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor pertence a .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos verificar se ele pertence a :
Como a desigualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos verificar se a soma de dois vetores quaisquer em também está em .
Sejam e em , então:
Vamos somar os vetores:
Para verificar se está em , precisamos que:
No entanto, mesmo que e , não há garantia de que . Por exemplo, se e , então:
Portanto, a soma de dois vetores em pode sair de , o que significa que não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Embora já tenhamos encontrado um problema na segunda condição, vamos verificar a terceira para completar a análise.
Seja em e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Para que esteja em :
Se , mesmo que , temos , o que significa que não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Falso. O conjunto não é um subespaço vetorial de porque, embora contenha o vetor zero, não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
k)
Determine a reta , onde:
a. .
Mostre que é uma base para o espaço vetorial .
Sejam e subespaços vetoriais de , definidos por:
a) Determine uma base para e indique a .