Julgue verdadeiro ou falso os itens a seguir. Justifique!
a) O conjunto
é um subespaço vetorial de
.
a) O conjunto
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Precisamos julgar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisaremos verificar se
satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
pertence a . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele pertence a
:
Como a desigualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos verificar se a soma de dois vetores quaisquer em
também está em
.
Sejam
e
em
, então:
Vamos somar os vetores:
Para verificar se
está em
, precisamos que:
No entanto, mesmo que
e
, não há garantia de que
. Por exemplo, se
e
, então:
Portanto, a soma de dois vetores em
pode sair de
, o que significa que
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Embora já tenhamos encontrado um problema na segunda condição, vamos verificar a terceira para completar a análise.
Seja
em
e
um escalar. Então:
Multiplicando
por
:
Para que
esteja em
:
Se
, mesmo que
, temos
, o que significa que
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Falso. O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque, embora contenha o vetor zero, não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Exercícios relacionados
Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
k)
k)
Determine a reta
, onde:
a. .
a.
Mostre que
é uma base para o espaço vetorial
.
Sejam
e
subespaços vetoriais de
, definidos por:
a) Determine uma base para
e indique a
.