Sejam u e v unitários e perpendiculares, w=a1 u+b1 v e z=a2 u+b2 v. Determine:
b) w cdot w.

Passo 1

Beleza! Temos duas vetores unitários, u e v, que são perpendiculares entre si. Isso significa que cada um tem comprimento 1 e forma um ângulo de 90 graus com o outro. Queremos encontrar o produto escalar de w consigo mesma, ou seja, w cdot w. Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e a informação que u e v são unitários e perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se define o vetor w:
w = a1 u + b1 v
Queremos calcular o produto escalar w cdot w. O produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu comprimento. Mas vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Expandindo o produto escalar:
w cdot w = (a1 u + b1 v) cdot (a1 u + b1 v)
Aplicando a distributiva do produto escalar:
w cdot w = a1^2 (u cdot u) + a1b1 (u cdot v) + b1a1 (v cdot u) + b1^2 (v cdot v)

Passo 4

Sabemos que u e v são vetores unitários, ou seja:
u cdot u = 1 e v cdot v = 1
Além disso, como u e v são perpendiculares:
u cdot v = 0 e v cdot u = 0

Passo 5

Substituindo essas informações na expressão expandida:
w cdot w = a1^2 (1) + a1b1 (0) + b1a1 (0) + b1^2 (1)
Simplificando:
w cdot w = a1^2 + b1^2

Resposta

w cdot w = a1^2 + b1^2

Exercícios relacionados