Verifique a posição relativa entre as retas ® e (s) e determine a interseção, se houver.: (r):cx=2-4 m y=3+2 m z=1+m e (s): X=(0,4,3)+t(-2,1,2).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos duas retas no espaço com equações paramétricas:
Reta (r):
x = 2 - 4m y = 3 + 2m z = 1 + m
Reta (s):
s: X = (0,4,3) + t(-2,1,2)
Queremos verificar a posição relativa entre as retas (r) e (s), ou seja, determinar se elas se intersectam, são paralelas ou são retas espardas, e encontrar o ponto de interseção caso exista. Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações que relacione os parâmetros e das duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas de forma que possamos comparar as coordenadas (r), x = 2 - 4m y = 3 + 2m z = 1 + m e (s) de cada reta.
Para a reta x = 0 + (-2)t = -2t y = 4 + 1t = 4 + t z = 3 + 2t :
Reta (r): x = 2 - 4m y = 3 + 2m z = 1 + m e Reta (s): x = -2t y = 4 + t z = 3 + 2t
Para a reta , expandindo a equação vetorial:
Agora, temos:

Passo 3

Para verificar se as retas se intersectam, precisamos encontrar valores de 2 - 4m = -2t (1) 3 + 2m = 4 + t (2) 1 + m = 3 + 2t (3) e que satisfazem todas as três equações simultaneamente. Vamos igualar as coordenadas correspondentes:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Primeiro, da equação (2):
3 + 2m = 4 + t Rightarrow t = 2m - 1
Agora, substituímos 1 + m = 3 + 2(2m - 1) 1 + m = 3 + 4m - 2 1 + m = 1 + 4m m = 0 na equação (3):
t = 2(0) - 1 = -1
Com 2 - 4(0) = -2(-1) Rightarrow 2 = 2 (válido) , substituímos na expressão de :
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a equação (1):
á

Passo 5

Encontramos (r) e x = 2 - 4(0) = 2 y = 3 + 2(0) = 3 z = 1 + 0 = 1 . Agora, vamos encontrar o ponto de interseção substituindo esses valores em qualquer uma das retas. Usando a reta :
Portanto, o ponto de interseção é .

Resposta

As retas (r) e (s) se intersectam no ponto .

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