Verifique a posição relativa entre as retas ® e (s) e determine a interseção, se houver.: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos que verificar a posição relativa entre duas retas no espaço e descobrir se elas se cruzam. As retas são dadas nas formas:
Reta ®:
Reta (s):
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações paramétricas e formas simétricas de retas no espaço. Vamos converter tudo para a forma paramétrica para facilitar a comparação e verificação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a reta ® na forma paramétrica. A forma simétrica da reta ® é dada por:
Vamos igualar todas as partes a um parâmetro, digamos :
Agora, isolamos em termos de :
Então, a forma paramétrica da reta ® é:
Passo 3
Agora que temos ambas as retas na forma paramétrica, vamos identificar os vetores diretores de cada uma:
Reta ®:
Reta (s):
Esses vetores nos mostram a direção de cada reta no espaço. Se as retas são paralelas, os vetores diretores são múltiplos entre si. Vamos verificar isso.
Passo 4
Para verificar se os vetores diretores são múltiplos, vamos comparar as componentes:
Como todas as razões são iguais, os vetores diretores são múltiplos, ou seja, as retas são paralelas.
Passo 5
Agora que sabemos que as retas são paralelas, precisamos verificar se elas coincidem ou são distintas. Para isso, pegamos um ponto de uma reta e verificamos se pertence à outra reta.
Vamos pegar o ponto da reta (s) quando :
Agora, vamos ver se esse ponto satisfaz as equações da reta ®. Substituindo na forma paramétrica da reta ®:
ãé
Como o ponto não pertence à reta ®, as retas são paralelas e distintas.
Resposta
As retas ® e (s) são paralelas e não possuem ponto de interseção.