Verifique a posição relativa entre as retas ® e (s) e determine a interseção, se houver.: (r): x-1=3 y-6-4=3 z-32 e
(s):lx=4+6 t y=1-8 t z=2+4 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos que verificar a posição relativa entre duas retas no espaço e descobrir se elas se cruzam. As retas são dadas nas formas:
  • Reta ®: x = 4 + 6t y = 1 - 8t z = 2 + 4t
  • Reta (s):
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações paramétricas e formas simétricas de retas no espaço. Vamos converter tudo para a forma paramétrica para facilitar a comparação e verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a reta ® na forma paramétrica. A forma simétrica da reta ® é dada por:
x - 1 = 3y - 6-4 = 3z - 32
Vamos igualar todas as partes a um parâmetro, digamos x - 1 = lambda, 3y - 6-4 = lambda, 3z - 32 = lambda :
x = 1 + lambda
Agora, isolamos 3y - 6 = -4lambda Rightarrow y = 2 - 43lambda em termos de 3z - 3 = 2lambda Rightarrow z = 1 + 23lambda :
x = 1 + lambda y = 2 - 43lambda z = 1 + 23lambda
Então, a forma paramétrica da reta ® é:

Passo 3

Agora que temos ambas as retas na forma paramétrica, vamos identificar os vetores diretores de cada uma:
  • Reta ®: dr = ( 1, -43, 23 )
  • Reta (s): ds = ( 6, -8, 4 )
Esses vetores nos mostram a direção de cada reta no espaço. Se as retas são paralelas, os vetores diretores são múltiplos entre si. Vamos verificar isso.

Passo 4

Para verificar se os vetores diretores são múltiplos, vamos comparar as componentes:
61 = 6, -8-43 = 6, 423 = 6
Como todas as razões são iguais, os vetores diretores são múltiplos, ou seja, as retas são paralelas.

Passo 5

Agora que sabemos que as retas são paralelas, precisamos verificar se elas coincidem ou são distintas. Para isso, pegamos um ponto de uma reta e verificamos se pertence à outra reta.
Vamos pegar o ponto da reta (s) quando Ps = (4, 1, 2) :
x = 1 + lambda = 4 Rightarrow lambda = 3
Agora, vamos ver se esse ponto satisfaz as equações da reta ®. Substituindo na forma paramétrica da reta ®:
y = 2 - 43(3) = 2 - 4 = -2 (não é igual a y=1)
ãé
Como o ponto não pertence à reta ®, as retas são paralelas e distintas.

Resposta

As retas ® e (s) são paralelas e não possuem ponto de interseção.

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