Determine o ponto de interseção das retas r e s, definidas pelas seguintes equações: r:l3 x+y+6 z+13=0 9 x+3 y+5 z=0 s: lx=1 4 x+y-z-9=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde as retas e se cruzam. Pra isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e interseção de retas no espaço. Vamos precisar resolver os sistemas de equações que definem cada reta para achar as coordenadas desse ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as retas 3x + y + 6z + 13 = 0 9x + 3y + 5z = 0 e x = 1 4x + y - z - 9 = 0 são definidas pelas equações dadas.
Para a reta :
Para a reta :

Passo 3

Vamos começar resolvendo as equações da reta x = 1 , já que uma delas já nos dá , o que facilita bastante.
Sabemos que:

Passo 4

Agora, substituímos 4(1) + y - z - 9 = 0 4 + y - z - 9 = 0 y - z - 5 = 0 y = z + 5 na segunda equação da reta para encontrar e :

Passo 5

Então, para a reta x = 1 y = z + 5 , temos:
x = 1 y = t + 5 z = t
Isso significa que a reta pode ser parametrizada em função de . Vamos chamá-lo de , onde :
Portanto, qualquer ponto na reta tem a forma .

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações da reta 3x + y + 6z + 13 = 0 9x + 3y + 5z = 0 :
3x + y + 53z = 0
Podemos simplificar o sistema. Observe que a segunda equação pode ser dividida por 3:
3x + y + 6z = -13 3x + y + 53z = 0
Agora, temos:

Passo 7

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (3x + y + 6z) - (3x + y + 53z) = -13 - 0 0x + 0y + (6z - 53z) = -13 133z = -13 z = -13 times 313 z = -3 :

Passo 8

Com 3x + y + 53(-3) = 0 3x + y - 5 = 0 y = -3x + 5 , vamos encontrar usando a segunda equação simplificada:

Passo 9

Agora, substituímos 3x + (-3x + 5) + 6(-3) + 13 = 0 3x - 3x + 5 - 18 + 13 = 0 0x + 0 = 0 e x = t y = -3t + 5 z = -3 na primeira equação original da reta :
Isso significa que a reta não define de forma única, então podemos escolher um valor para e encontrar . Vamos parametrizar a reta em função de :
Portanto, qualquer ponto na reta tem a forma .

Passo 10

Agora, queremos encontrar o ponto onde as retas x = 1 y = t + 5 z = t e x = t y = -3t + 5 z = -3 se cruzam. Portanto, precisamos que as coordenadas t = 1 sejam iguais para algum valor de t = -3 .
Da reta :
Da reta :
Igualando as coordenadas:
Para :
Para :
Aqui temos um problema: para a reta , quando , , mas para a reta , sempre é . Isso implica que não há um ponto comum onde ambas as retas se encontram, a menos que para e para , o que não é possível.

Resposta

As retas e não se intersectam; não existe um ponto de interseção entre elas.

Exercícios relacionados