Determine o ponto de interseção das retas e , definidas pelas seguintes equações: s:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde as retas e se cruzam. Pra isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e interseção de retas no espaço. Vamos precisar resolver os sistemas de equações que definem cada reta para achar as coordenadas desse ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as retas e são definidas pelas equações dadas.
Para a reta :
Para a reta :

Passo 3

Vamos começar resolvendo as equações da reta , já que uma delas já nos dá , o que facilita bastante.
Sabemos que:

Passo 4

Agora, substituímos na segunda equação da reta para encontrar e :

Passo 5

Então, para a reta , temos:
Isso significa que a reta pode ser parametrizada em função de . Vamos chamá-lo de , onde :
Portanto, qualquer ponto na reta tem a forma .

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema de equações da reta :
Podemos simplificar o sistema. Observe que a segunda equação pode ser dividida por 3:
Agora, temos:

Passo 7

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar :

Passo 8

Com , vamos encontrar usando a segunda equação simplificada:

Passo 9

Agora, substituímos e na primeira equação original da reta :
Isso significa que a reta não define de forma única, então podemos escolher um valor para e encontrar . Vamos parametrizar a reta em função de :
Portanto, qualquer ponto na reta tem a forma .

Passo 10

Agora, queremos encontrar o ponto onde as retas e se cruzam. Portanto, precisamos que as coordenadas sejam iguais para algum valor de .
Da reta :
Da reta :
Igualando as coordenadas:
Para :
Para :
Aqui temos um problema: para a reta , quando , , mas para a reta , sempre é . Isso implica que não há um ponto comum onde ambas as retas se encontram, a menos que para e para , o que não é possível.

Resposta

As retas e não se intersectam; não existe um ponto de interseção entre elas.

Exercícios relacionados

Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(f) é um espaço vetorial complexo?
Seja a reta determinada pela intersecção dos planos e .Ache a equação do plano que passa por e contém .
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial dado.
(b) e .
Sejam e vetores.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a e a ;
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a e a com norma igual a 5.