Determine o ponto de interseção das retas
e
, definidas pelas seguintes equações:
s:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto onde as retas
e
se cruzam. Pra isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e interseção de retas no espaço. Vamos precisar resolver os sistemas de equações que definem cada reta para achar as coordenadas desse ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as retas
e
são definidas pelas equações dadas.
Para a reta
:
Para a reta
:
Passo 3
Vamos começar resolvendo as equações da reta
, já que uma delas já nos dá
, o que facilita bastante.
Sabemos que:
Passo 4
Agora, substituímos
na segunda equação da reta
para encontrar
e
:
Passo 5
Então, para a reta
, temos:
Isso significa que a reta
pode ser parametrizada em função de
. Vamos chamá-lo de
, onde
:
Portanto, qualquer ponto na reta
tem a forma
.
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema de equações da reta
:
Podemos simplificar o sistema. Observe que a segunda equação pode ser dividida por 3:
Agora, temos:
Passo 7
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Passo 8
Com
, vamos encontrar
usando a segunda equação simplificada:
Passo 9
Agora, substituímos
e
na primeira equação original da reta
:
Isso significa que a reta
não define
de forma única, então podemos escolher um valor para
e encontrar
. Vamos parametrizar a reta
em função de
:
Portanto, qualquer ponto na reta
tem a forma
.
Passo 10
Agora, queremos encontrar o ponto onde as retas
e
se cruzam. Portanto, precisamos que as coordenadas
sejam iguais para algum valor de
.
Da reta
:
Da reta
:
Igualando as coordenadas:
Para
:
Para
:
Aqui temos um problema: para a reta
, quando
,
, mas para a reta
,
sempre é
. Isso implica que não há um ponto comum onde ambas as retas se encontram, a menos que
para
e
para
, o que não é possível.
Resposta
As retas
e
não se intersectam; não existe um ponto de interseção entre elas.
Exercícios relacionados
Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(f) é um espaço vetorial complexo?
(f)
Seja
a reta determinada pela intersecção dos planos
e
.Ache a equação do plano que passa por
e contém
.
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
(b) e
.
(b)
Sejam
e
vetores.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a e a
;
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a e a
com norma igual a 5.
(a) Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a
(b) Determine um vetor simultaneamente perpendicular a