Sejam u e v vetores quaisquer no espaço. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se u e v são ortogonais e unitários então u cdot(u+v)|u||u+v|=raiz22.
(II) Se u e v são ortogonais e unitários então |u-v|=raiz2
(III) Se u e v são ortogonais e unitários então (u+v) e (u-v) são ortogonais.
Quais afirmações são verdadeiras?
Nenhuma
I, II e III
I e III
II e III
I eII

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo vetores no espaço. Aqui, temos dois vetores quaisquer, u e v, que são ortogonais e unitários. Vamos analisar três afirmações sobre esses vetores para determinar quais são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender conceitos como produto escalar, norma dos vetores e propriedades de vetores ortogonais e unitários.

Passo 2

Analisando a afirmação I:
A afirmação diz que se u e v são ortogonais e unitários, então
u cdot (u + v)|u||u + v| = raiz22
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
  • Produto escalar no numerador:
u cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v
Como u é unitário, u cdot u = 1. Além disso, como u e v são ortogonais, u cdot v = 0. Então:
u cdot (u + v) = 1 + 0 = 1
  • Norma no denominador:
|u| = 1 (pois $u$ é unitário) éá
|u + v| = raiz|u|^2 + |v|^2 + 2 u cdot v
Substituindo os valores:
|u + v| = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
  • Calculando a fração:
11 times raiz2 = 1raiz2 = raiz22
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II:
A afirmação II afirma que
|u - v| = raiz2
Vamos calcular a norma de u - v:
|u - v| = raiz|u|^2 + |v|^2 - 2 u cdot v
Substituindo os valores:
|u - v| = raiz1 + 1 - 0 = raiz2
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação III:
A afirmação III diz que os vetores (u + v) e (u - v) são ortogonais. Para verificar isso, vamos calcular o produto escalar entre eles:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v
Sabendo que u e v são ortogonais ( u cdot v = 0) e unitários ( u cdot u = v cdot v = 1), temos:
(u + v) cdot (u - v) = 1 - 0 + 0 - 1 = 0
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Resposta

As afirmações I, II e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados