Sejam e vetores quaisquer no espaço. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se e são ortogonais e unitários então .
(II) Se e são ortogonais e unitários então
(III) Se e são ortogonais e unitários então e são ortogonais.
Quais afirmações são verdadeiras?
Nenhuma
I, II e III
I e III
II e III
I eII
Passo 1
Vamos resolver um problema envolvendo vetores no espaço. Aqui, temos dois vetores quaisquer, e , que são ortogonais e unitários. Vamos analisar três afirmações sobre esses vetores para determinar quais são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender conceitos como produto escalar, norma dos vetores e propriedades de vetores ortogonais e unitários.
Passo 2
Analisando a afirmação I:
A afirmação diz que se e são ortogonais e unitários, então
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Produto escalar no numerador:
Como é unitário, . Além disso, como e são ortogonais, . Então:
Norma no denominador:
Substituindo os valores:
Calculando a fração:
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II:
A afirmação II afirma que
Vamos calcular a norma de :
Substituindo os valores:
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação III:
A afirmação III diz que os vetores e são ortogonais. Para verificar isso, vamos calcular o produto escalar entre eles:
Sabendo que e são ortogonais () e unitários (), temos:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Portanto, a afirmação III é verdadeira.