Sejam e vetores quaisquer no espaço. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se e são ortogonais e unitários então .
(II) Se e são ortogonais e unitários então
(III) Se e são ortogonais e unitários então e são ortogonais.
Quais afirmações são verdadeiras?
Nenhuma
I, II e III
I e III
II e III
I eII

Passo 1

Vamos resolver um problema envolvendo vetores no espaço. Aqui, temos dois vetores quaisquer, e , que são ortogonais e unitários. Vamos analisar três afirmações sobre esses vetores para determinar quais são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender conceitos como produto escalar, norma dos vetores e propriedades de vetores ortogonais e unitários.

Passo 2

Analisando a afirmação I:
A afirmação diz que se e são ortogonais e unitários, então
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
  • Produto escalar no numerador:
Como é unitário, . Além disso, como e são ortogonais, . Então:
  • Norma no denominador:
éá
Substituindo os valores:
  • Calculando a fração:
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II:
A afirmação II afirma que
Vamos calcular a norma de :
Substituindo os valores:
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação III:
A afirmação III diz que os vetores e são ortogonais. Para verificar isso, vamos calcular o produto escalar entre eles:
Sabendo que e são ortogonais ( ) e unitários ( ), temos:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Resposta

As afirmações I, II e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Obtenha a equação e esboce o gráfico da parábola de vértice , onde: O parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
Verificar se a seguinte matriz é invertível e, em caso afirmativo, calcular sua inversa:
Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores não nulos quaisquer:
(I) Se e então ;
(III) Se e então .
(II) Se entāo .
(IV) então .
Quantas afirmações são verdadeiras?
Nenhumaduas
Se denota o produto de por tomado vezes, determine o valor do númen natural tal que onde é a matriz identidade.