Sejam
e
vetores quaisquer no espaço. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se
e
são ortogonais e unitários então
.
(II) Se
e
são ortogonais e unitários então
(III) Se
e
são ortogonais e unitários então
e
são ortogonais.
Quais afirmações são verdadeiras?
Nenhuma
I, II e III
I e III
II e III
I eII
(I) Se
(II) Se
(III) Se
Quais afirmações são verdadeiras?
I, II e III
I e III
II e III
I eII
Passo 1
Vamos resolver um problema envolvendo vetores no espaço. Aqui, temos dois vetores quaisquer,
e
, que são ortogonais e unitários. Vamos analisar três afirmações sobre esses vetores para determinar quais são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender conceitos como produto escalar, norma dos vetores e propriedades de vetores ortogonais e unitários.
Passo 2
Analisando a afirmação I:
A afirmação diz que se
e
são ortogonais e unitários, então
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
- Produto escalar no numerador:
Como
é unitário,
. Além disso, como
e
são ortogonais,
. Então:
- Norma no denominador:
Substituindo os valores:
- Calculando a fração:
Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II:
A afirmação II afirma que
Vamos calcular a norma de
:
Substituindo os valores:
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação III:
A afirmação III diz que os vetores
e
são ortogonais. Para verificar isso, vamos calcular o produto escalar entre eles:
Sabendo que
e
são ortogonais (
) e unitários (
), temos:
Como o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais. Portanto, a afirmação III é verdadeira.
Resposta
As afirmações I, II e III são verdadeiras.