Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores não nulos quaisquer:
(I) Se
e
então
;
(III) Se
e
então
.
(II) Se
entāo
.
(IV)
então
.
Quantas afirmações são verdadeiras?
Nenhumaduas
(I) Se
(III) Se
(II) Se
(IV)
Quantas afirmações são verdadeiras?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem quatro afirmações sobre vetores não nulos, e precisa descobrir quantas delas são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de paralelismo, perpendicularidade e normas de vetores. Vamos analisar cada afirmação uma por uma.
Passo 2
Afirmação I: Se
e
então
.
Explicação: Dois vetores são paralelos (
) se eles apontam na mesma direção ou em direções opostas, ou seja, um é múltiplo escalar do outro. Se
é paralelo a
e também a
, isso significa que
e
estão na mesma direção. Somando
e
, o resultado também estará nessa mesma direção, então
será paralelo a
.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se
então
.
Explicação: Quando dois vetores são paralelos, eles têm a mesma direção ou direções opostas. A expressão
representa o vetor unitário na direção de
, e
o mesmo para
. Se
e
são paralelos, seus vetores unitários também serão iguais (se apontarem na mesma direção) ou opostos (se apontarem em direções opostas). A igualdade ocorre se eles apontarem na mesma direção.
Conclusão: A afirmação II é verdadeira se
e
apontarem na mesma direção, mas pode ser falsa se apontarem em direções opostas. Portanto, como a afirmação não especifica, consideramos que pode ser falsa.
Passo 4
Afirmação III: Se
e
então
.
Explicação: Quando dois vetores são perpendiculares (
), o teorema de Pitágoras se aplica. Ou seja,
. Porém, isso não significa que
, mas sim que a norma de
é a raiz quadrada da soma dos quadrados das normas de
e
.
Conclusão: A afirmação III é falsa.
Passo 5
Afirmação IV: Se
e
então
.
Explicação: Ter dois vetores ambos perpendiculares a um terceiro vetor não implica que eles sejam perpendiculares entre si. Por exemplo, em três dimensões, se
está no eixo x,
no eixo y e
também no eixo y, então
e
, mas
e
não são necessariamente perpendiculares.
Conclusão: A afirmação IV é falsa.
Resposta
Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.