Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores não nulos quaisquer:
(I) Se e então ;
(III) Se e então .
(II) Se entāo .
(IV) então .
Quantas afirmações são verdadeiras?
Nenhumaduas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem quatro afirmações sobre vetores não nulos, e precisa descobrir quantas delas são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de paralelismo, perpendicularidade e normas de vetores. Vamos analisar cada afirmação uma por uma.

Passo 2

Afirmação I: Se e então .
Explicação: Dois vetores são paralelos ( ) se eles apontam na mesma direção ou em direções opostas, ou seja, um é múltiplo escalar do outro. Se é paralelo a e também a , isso significa que e estão na mesma direção. Somando e , o resultado também estará nessa mesma direção, então será paralelo a .
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se então .
Explicação: Quando dois vetores são paralelos, eles têm a mesma direção ou direções opostas. A expressão representa o vetor unitário na direção de , e o mesmo para . Se e são paralelos, seus vetores unitários também serão iguais (se apontarem na mesma direção) ou opostos (se apontarem em direções opostas). A igualdade ocorre se eles apontarem na mesma direção.
Conclusão: A afirmação II é verdadeira se e apontarem na mesma direção, mas pode ser falsa se apontarem em direções opostas. Portanto, como a afirmação não especifica, consideramos que pode ser falsa.

Passo 4

Afirmação III: Se e então .
Explicação: Quando dois vetores são perpendiculares ( ), o teorema de Pitágoras se aplica. Ou seja, . Porém, isso não significa que , mas sim que a norma de é a raiz quadrada da soma dos quadrados das normas de e .
Conclusão: A afirmação III é falsa.

Passo 5

Afirmação IV: Se e então .
Explicação: Ter dois vetores ambos perpendiculares a um terceiro vetor não implica que eles sejam perpendiculares entre si. Por exemplo, em três dimensões, se está no eixo x, no eixo y e também no eixo y, então e , mas e não são necessariamente perpendiculares.
Conclusão: A afirmação IV é falsa.

Resposta

Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

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Sejam e vetores quaisquer no espaço. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se e são ortogonais e unitários então .
(II) Se e são ortogonais e unitários então
(III) Se e são ortogonais e unitários então e são ortogonais.
Quais afirmações são verdadeiras?
Nenhuma
I, II e III
I e III
II e III
I eII
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