Se A^n denota o produto de A por A tomado n vezes, determine o valor do númen natural k tal que A^k^2-A^5 k+A^6=I onde I é a matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz e precisa encontrar um número natural que satisfaça a equação , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes e propriedades de potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
A^k^2 - A^5k + A^6 = I
Queremos encontrar tal que essa igualdade seja verdadeira. Vamos tentar manipular essa equação para encontrar uma relação que nos ajude a determinar .

Passo 3

Vamos supor que A^5k - A^5k + A^6 = A^6 = I . Se isso for verdade, então a equação fica:
Então, temos que . Isso significa que a matriz elevada à sexta potência resulta na matriz identidade.

Passo 4

Agora, sabemos que k^2 equiv 5k (mod 6) . Retornando à nossa suposição de que , sabemos que para isso acontecer com , os expoentes devem ser congruentes em relação a 6. Ou seja:
Vamos resolver essa congruência para encontrar .

Passo 5

Resolvendo a congruência:
k^2 - 5k equiv 0 (mod 6)
Fatorando:
k(k - 5) equiv 0 (mod 6)
Isso significa que ou módulo 6. Como estamos procurando um número natural, o menor valor que satisfaz essa condição é .

Resposta

O valor natural que satisfaz a equação é .

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