Se
denota o produto de
por
tomado
vezes, determine o valor do númen natural
tal que
onde
é a matriz identidade.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz
e precisa encontrar um número natural
que satisfaça a equação
, onde
é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes e propriedades de potências de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Queremos encontrar
tal que essa igualdade seja verdadeira. Vamos tentar manipular essa equação para encontrar uma relação que nos ajude a determinar
.
Passo 3
Vamos supor que
. Se isso for verdade, então a equação fica:
Então, temos que
. Isso significa que a matriz
elevada à sexta potência resulta na matriz identidade.
Passo 4
Agora, sabemos que
. Retornando à nossa suposição de que
, sabemos que para isso acontecer com
, os expoentes devem ser congruentes em relação a 6. Ou seja:
Vamos resolver essa congruência para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo a congruência:
Fatorando:
Isso significa que
ou
módulo 6. Como estamos procurando um número natural, o menor valor que satisfaz essa condição é
.
Resposta
O valor natural
que satisfaz a equação é
.