Se denota o produto de por tomado vezes, determine o valor do númen natural tal que onde é a matriz identidade.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma matriz e precisa encontrar um número natural que satisfaça a equação , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de matrizes e propriedades de potências de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Queremos encontrar tal que essa igualdade seja verdadeira. Vamos tentar manipular essa equação para encontrar uma relação que nos ajude a determinar .

Passo 3

Vamos supor que . Se isso for verdade, então a equação fica:
Então, temos que . Isso significa que a matriz elevada à sexta potência resulta na matriz identidade.

Passo 4

Agora, sabemos que . Retornando à nossa suposição de que , sabemos que para isso acontecer com , os expoentes devem ser congruentes em relação a 6. Ou seja:
Vamos resolver essa congruência para encontrar .

Passo 5

Resolvendo a congruência:
Fatorando:
Isso significa que ou módulo 6. Como estamos procurando um número natural, o menor valor que satisfaz essa condição é .

Resposta

O valor natural que satisfaz a equação é .

Exercícios relacionados

Considere as afirmações I,II, III e IV sobre vetores não nulos quaisquer:
(I) Se e então ;
(III) Se e então .
(II) Se entāo .
(IV) então .
Quantas afirmações são verdadeiras?
Nenhumaduas
Sejam e vetores quaisquer no espaço. Considere as seguintes afirmações:
(I) Se e são ortogonais e unitários então .
(II) Se e são ortogonais e unitários então
(III) Se e são ortogonais e unitários então e são ortogonais.
Quais afirmações são verdadeiras?
Nenhuma
I, II e III
I e III
II e III
I eII
Encontre a fórmula para em função de e e calcule .
Mostre que não é associativa, isto é, .