Sejam u=(1,-3,2) e v=(2,4,-1) vetores do R^3.
a) Mostre que w1=(4,3,-6) não é combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional: , e . A matéria que vamos usar aqui é combinação linear de vetores. Nosso objetivo é mostrar que não dá para expressar como uma combinação linear de e . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações que vai nos dizer se existe ou não essa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor w = a cdot u + b cdot v é uma combinação linear de (4, 3, -6) = a cdot (1, -3, 2) + b cdot (2, 4, -1) e se existem escalares e tais que:
No nosso caso, queremos encontrar e que satisfaçam:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:
1a + 2b = 4 (componente x) -3a + 4b = 3 (componente y) 2a - 1b = -6 (componente z)
Agora, temos que ver se esse sistema tem uma solução, ou seja, se existem valores de e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Primeiro, pegamos a primeira equação:
a + 2b = 4 Rightarrow a = 4 - 2b
Agora, substituímos -3(4 - 2b) + 4b = 3 -12 + 6b + 4b = 3 10b = 15 b = 1.5 na segunda equação:
a = 4 - 2(1.5) = 4 - 3 = 1
Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses valores de 2a - b = -6 2(1) - 1.5 = 2 - 1.5 = 0.5 neq -6 e satisfazem a terceira equação:
Vimos que a terceira equação não é satisfeita com e .

Resposta

Como não encontramos valores de e que satisfazem todas as três equações simultaneamente, concluímos que não é combinação linear dos vetores e .

Exercícios relacionados

Coloque V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das seguintes afirmações:
(e) Se A é uma matriz quadrada, então A+A^T2 é simétrica e A-A^T2 é anti-simétrica;
Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60 graus, determine o ângulo formado pelos vetores
(b) -u e v
Suponha que A, B, C e D são matrizes inversíveis de mesma ordem. Resolva cada equação a seguir, na variável X, simplificando o máximo possível:
(a) A X B=C; Resp.: X=A^-1 C B^-1
Seja A=(arrayll1 & 2 5 & 6). Encontre todas as matrizes B2 times 2 tais que A B=B A. Resp.: B= (cca & b 5 b / 2 & a+5 b / 2), a, b in R