Sejam e vetores do .
a) Mostre que não é combinação linear de e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores no espaço tridimensional: , e . A matéria que vamos usar aqui é combinação linear de vetores. Nosso objetivo é mostrar que não dá para expressar como uma combinação linear de e . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações que vai nos dizer se existe ou não essa combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor é uma combinação linear de e se existem escalares e tais que:
No nosso caso, queremos encontrar e que satisfaçam:
Passo 3
Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:
Agora, temos que ver se esse sistema tem uma solução, ou seja, se existem valores de e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos resolver o sistema. Primeiro, pegamos a primeira equação:
a + 2b = 4 Rightarrow a = 4 - 2b
Agora, substituímos -3(4 - 2b) + 4b = 3 -12 + 6b + 4b = 3 10b = 15 b = 1.5 na segunda equação:
a = 4 - 2(1.5) = 4 - 3 = 1
Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :
Passo 5
Agora, vamos verificar se esses valores de 2a - b = -6 2(1) - 1.5 = 2 - 1.5 = 0.5 neq -6 e satisfazem a terceira equação:
Vimos que a terceira equação não é satisfeita com e .
Resposta
Como não encontramos valores de e que satisfazem todas as três equações simultaneamente, concluímos que não é combinação linear dos vetores e .