Suponha que A, B, C e D são matrizes inversíveis de mesma ordem. Resolva cada equação a seguir, na variável X, simplificando o máximo possível:
(a) A X B=C; Resp.: X=A^-1 C B^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Aqui estamos lidando com matrizes inversíveis, então vamos usar conhecimentos de álgebra de matrizes, especialmente sobre inversas. Precisamos usar as propriedades das matrizes inversas para isolar a variável .

Passo 2

Primeiro, queremos isolar A^-1 (A X B) = A^-1 C na equação I X B = A^-1 C . Para fazer isso, vamos começar eliminando a matriz X B = A^-1 C que está na frente de . Como é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , que é .
Multiplicando da esquerda por :
Usando a propriedade das inversas, sabemos que (onde é a matriz identidade), então:
Simplificando:

Passo 3

Agora, queremos eliminar a matriz X B B^-1 = A^-1 C B^-1 que está multiplicando X I = A^-1 C B^-1 pela direita. Como X = A^-1 C B^-1 também é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , que é .
Multiplicando da direita por :
Novamente, usando a propriedade das inversas, , então:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação é:
X = A^-1 C B^-1

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