Sejam u e v vetores tais que ||u x v|| = 2 e ||v|| = 1. Calcule ||v x u - v||.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois vetores, u e v. Sabemos que o módulo do produto vetorial deles, ||u x v||, é 2, e que o módulo de v, ||v||, é 1. Nosso objetivo é calcular o módulo de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades do produto vetorial e de como calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial é anticomutativo, ou seja, . Então, podemos reescrever a expressão que queremos calcular:

Passo 3

Agora, vamos substituir o valor que sabemos para ||u x v||, que é 2. Contudo, precisamos lembrar que u x v é um vetor perpendicular tanto a u quanto a v, e seu módulo é 2. Mas para simplificar a conta, vamos manter a expressão na forma vetorial mesmo.

Passo 4

A próxima etapa é calcular o módulo do vetor resultante. Para isso, usamos a fórmula do módulo de um vetor , que é:
No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o produto escalar . Mas lembre-se que o produto escalar entre um vetor e o produto vetorial de dois outros vetores é sempre zero, porque u x v é perpendicular a v.
Então:

Passo 7

Substituindo esse valor na expressão:

Resposta

O módulo de é raiz(5).

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