Sejam e . Ache números , , todos não-nulos, tais que , .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar números e diferentes de zero tais que . Estamos lidando com combinações lineares de vetores, então vamos usar um pouco de álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para reunir todos os termos de um lado. Subtraindo de ambos os lados, temos:

Passo 3

Aqui, é o vetor nulo. Para que essa equação seja verdadeira, os coeficientes de e devem satisfazer certas condições. Se os vetores e forem linearmente independentes, a única solução seria , , e , o que implicaria , , e . Mas isso não atende à condição de que eles sejam diferentes.

Passo 4

Portanto, para existir uma solução onde , , e , os vetores devem ser linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 5

Vamos verificar se isso é verdade. Seja , , e . Observando os vetores, percebemos que eles estão no plano, mas temos três vetores em um espaço bidimensional, então eles devem ser linearmente dependentes.

Passo 6

Vamos encontrar uma relação de dependência. Procuramos constantes não-nulas tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema, podemos subtrair a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Podemos escolher (qualquer valor não-nulo serve), então e .

Passo 8

Agora, temos uma relação de dependência:
Isso significa que .

Passo 9

Voltando à equação original:
Usando a relação de dependência , podemos expressar, por exemplo, .

Passo 10

Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 11

Igualando os coeficientes:
Podemos escolher valores para e determinar de forma que sejam diferentes.

Passo 12

Por exemplo, escolha , , . Então:
Podemos escolher , então e . Contudo, isso dá , o que não atende à condição.

Passo 13

Vamos tentar outro conjunto. Escolha , , :
Escolha , então e . Ainda temos e .

Passo 14

Para garantir que todos sejam diferentes, precisamos de mais flexibilidade. Vamos assumir :
Agora, temos , , , que são diferentes de , , .

Resposta

Um conjunto de soluções é:
Como assim, , com todos os coeficientes diferentes e não nulos.

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c) O modelo de Turing foi desenvolvido com o objetivo de calcular as padronagens complexas das espécies do surubim.
d) Os desenhos dos surubins, com seus padrões incomuns, permitiram a formulação da hipótese e do modelo de Turing.
Sejam os seguintes vetores do , e , com . O conjunto é uma base do desde que c seja diferente de:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
Verifique se os seguintes subconjuntos de são subespaços. Em caso afirmativo, mostre que são.
et