Sejam u=(1,1), v=(1,2) e w=(2,1). Ache números a, b, c, a^prime, b^prime, c^prime, todos não-nulos, tais que a u+b v+c w=a^prime u+b^prime v+c^prime w, com a^prime neq a, b^prime neq b, c^prime neq c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar números e diferentes de zero tais que . Estamos lidando com combinações lineares de vetores, então vamos usar um pouco de álgebra linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para reunir todos os termos de um lado. Subtraindo (a - a') u + (b - b') v + (c - c') w = 0 de ambos os lados, temos:

Passo 3

Aqui, é o vetor nulo. Para que essa equação seja verdadeira, os coeficientes de e devem satisfazer certas condições. Se os vetores e forem linearmente independentes, a única solução seria , , e , o que implicaria , , e . Mas isso não atende à condição de que eles sejam diferentes.

Passo 4

Portanto, para existir uma solução onde , , e , os vetores devem ser linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 5

Vamos verificar se isso é verdade. Seja , , e . Observando os vetores, percebemos que eles estão no plano, mas temos três vetores em um espaço bidimensional, então eles devem ser linearmente dependentes.

Passo 6

Vamos encontrar uma relação de dependência. Procuramos constantes não-nulas k1 u + k2 v + k3 w = 0 tais que:
k1 (1,1) + k2 (1,2) + k3 (2,1) = (0,0)
Substituindo os vetores, temos:
k1 + k2 + 2k3 = 0 k1 + 2k2 + k3 = 0
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema, podemos subtrair a primeira equação da segunda:
(k1 + 2k2 + k3) - (k1 + k2 + 2k3) = 0 k2 - k3 = 0 Rightarrow k2 = k3
Substituindo k1 + k2 + 2k2 = 0 k1 + 3k2 = 0 Rightarrow k1 = -3k2 na primeira equação:
Podemos escolher (qualquer valor não-nulo serve), então e .

Passo 8

Agora, temos uma relação de dependência:
-3u + 1v + 1w = 0
Isso significa que .

Passo 9

Voltando à equação original:
a u + b v + c w = a' u + b' v + c' w
Usando a relação de dependência , podemos expressar, por exemplo, .

Passo 10

Substituindo a u + b v + c (3u - v) = a' u + b' v + c' (3u - v) na equação:
(a + 3c) u + (b - c) v = (a' + 3c') u + (b' - c') v
Simplificando:

Passo 11

Igualando os coeficientes:
a + 3c = a' + 3c' b - c = b' - c'
Podemos escolher valores para e determinar de forma que sejam diferentes.

Passo 12

Por exemplo, escolha 1 + 3(1) = a' + 3c' Rightarrow 4 = a' + 3c' 1 - 1 = b' - c' Rightarrow 0 = b' - c' Rightarrow b' = c' , , . Então:
Podemos escolher , então e . Contudo, isso dá , o que não atende à condição.

Passo 13

Vamos tentar outro conjunto. Escolha 2 + 3(1) = a' + 3c' Rightarrow 5 = a' + 3c' 3 - 1 = b' - c' Rightarrow 2 = b' - c' Rightarrow b' = c' + 2 , , :
Escolha , então e . Ainda temos e .

Passo 14

Para garantir que todos sejam diferentes, precisamos de mais flexibilidade. Vamos assumir a' = 5 - 3(2) = -1 b' = 2 + 2 = 4 :
Agora, temos , , , que são diferentes de , , .

Resposta

Um conjunto de soluções é:
a = 2, b = 3, c = 1, a' = -1, b' = 4, c' = 2
Como assim, , com todos os coeficientes diferentes e não nulos.

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