Sejam
e
. Ache números
,
, todos não-nulos, tais que
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar números
e
diferentes de zero tais que
. Estamos lidando com combinações lineares de vetores, então vamos usar um pouco de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para reunir todos os termos de um lado. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Passo 3
Aqui,
é o vetor nulo. Para que essa equação seja verdadeira, os coeficientes de
e
devem satisfazer certas condições. Se os vetores
e
forem linearmente independentes, a única solução seria
,
, e
, o que implicaria
,
, e
. Mas isso não atende à condição de que eles sejam diferentes.
Passo 4
Portanto, para existir uma solução onde
,
, e
, os vetores devem ser linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 5
Vamos verificar se isso é verdade. Seja
,
, e
. Observando os vetores, percebemos que eles estão no plano, mas temos três vetores em um espaço bidimensional, então eles devem ser linearmente dependentes.
Passo 6
Vamos encontrar uma relação de dependência. Procuramos constantes não-nulas
tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o sistema, podemos subtrair a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Podemos escolher
(qualquer valor não-nulo serve), então
e
.
Passo 8
Agora, temos uma relação de dependência:
Isso significa que
.
Passo 9
Voltando à equação original:
Usando a relação de dependência
, podemos expressar, por exemplo,
.
Passo 10
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Passo 11
Igualando os coeficientes:
Podemos escolher valores para
e determinar
de forma que sejam diferentes.
Passo 12
Por exemplo, escolha
,
,
. Então:
Podemos escolher
, então
e
. Contudo, isso dá
, o que não atende à condição.
Passo 13
Vamos tentar outro conjunto. Escolha
,
,
:
Escolha
, então
e
. Ainda temos
e
.
Passo 14
Para garantir que todos sejam diferentes, precisamos de mais flexibilidade. Vamos assumir
:
Agora, temos
,
,
, que são diferentes de
,
,
.
Resposta
Um conjunto de soluções é:
Como assim,
, com todos os coeficientes diferentes e não nulos.