Sejam os seguintes vetores do R^3: u=(2,0,-1), v=(3,1,0) e w=(1,-1, c), com c in R. O conjunto u, v, w é uma base do R^3 desde que c seja diferente de:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2

Passo 1

Então, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional R^3: u=(2,0,-1), v=(3,1,0) e w=(1,-1, c). A pergunta é: para quais valores de c esse conjunto de vetores forma uma base de R^3? Para resolver isso, vamos trabalhar com independência linear e determinantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, para que três vetores formem uma base em R^3, eles precisam ser linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Uma maneira prática de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares e formam uma base.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores u, v e w:
A = 2 & 3 & 1 0 & 1 & -1 -1 & 0 & c
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A) = 2 cdot (1 cdot c - (-1) cdot 0) - 3 cdot (0 cdot c - (-1) cdot (-1)) + 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot (-1))
Simplificando:
det(A) = 2 cdot (c) - 3 cdot (0 - 1) + 1 cdot (0 + 1) = 2c + 3 + 1 = 2c + 4

Passo 4

Para os vetores formarem uma base, o determinante não pode ser zero:
2c + 4 neq 0 2c neq -4 c neq -2

Resposta

A resposta correta é a alternativa d) 2, pois para c = 2, o determinante não zero garante que os vetores formem uma base.

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