Sejam os seguintes vetores do , e , com . O conjunto é uma base do desde que c seja diferente de:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2

Passo 1

Então, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . A pergunta é: para quais valores de esse conjunto de vetores forma uma base de ? Para resolver isso, vamos trabalhar com independência linear e determinantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, para que três vetores formem uma base em , eles precisam ser linearmente independentes. Isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Uma maneira prática de verificar isso é calculando o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares e formam uma base.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 4

Para os vetores formarem uma base, o determinante não pode ser zero:

Resposta

A resposta correta é a alternativa d) 2, pois para , o determinante não zero garante que os vetores formem uma base.

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Verifique se os seguintes subconjuntos de são subespaços. Em caso afirmativo, mostre que são.
et
Sejam , e vetores em . Determine o subespaço gerado .