Verifique se os seguintes subconjuntos de
são subespaços. Em caso afirmativo, mostre que são.
et
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar se
satisfaz três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições de
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado em relação à adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então:
Vamos somar
e
:
Agora, verificamos as condições para
:
Portanto,
e
, o que mostra que
também satisfaz as condições de
. Assim,
é fechado em relação à adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isto é, se multiplicarmos qualquer vetor em
por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
, então:
Multiplicando
por
:
Vamos verificar as condições para
:
Então,
e
, o que significa que
também satisfaz as condições de
. Portanto,
é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado em relação à adição de vetores e à multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Sejam os seguintes vetores do
,
e
, com
. O conjunto
é uma base do
desde que c seja diferente de:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
Sejam
e
. Ache números
,
, todos não-nulos, tais que
,
.
Sejam
,
e
vetores em
. Determine o subespaço gerado
.
Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(a)
(a)