Verifique se os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços. Em caso afirmativo, mostre que são.
Q=(x, y, z, t) in R^4 mid x=y z et =-z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar se satisfaz três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em x = y + z Rightarrow 0 = 0 + 0 (Verdade) . O vetor zero em t = -z Rightarrow 0 = -0 (Verdade) é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se x1 = y1 + z1 e t1 = -z1 é fechado em relação à adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em x2 = y2 + z2 e t2 = -z2 , a soma deles também deve estar em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) .
Sejam x1 + x2 = (y1 + z1) + (y2 + z2) = (y1 + y2) + (z1 + z2) e t1 + t2 = -z1 + (-z2) = -(z1 + z2) em . Então:
Vamos somar e :
Agora, verificamos as condições para :
Portanto, e , o que mostra que também satisfaz as condições de . Assim, é fechado em relação à adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se x = y + z e t = -z é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isto é, se multiplicarmos qualquer vetor em ku = (k x, k y, k z, k t) por um escalar k x = k (y + z) = k y + k z , o resultado também deve estar em k t = k (-z) = -k z .
Seja em , então:
Multiplicando por :
Vamos verificar as condições para :
Então, e , o que significa que também satisfaz as condições de . Portanto, é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado em relação à adição de vetores e à multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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