Verifique se os seguintes subconjuntos de são subespaços. Em caso afirmativo, mostre que são.
et

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear, especialmente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar se satisfaz três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição de vetores e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado em relação à adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e em . Então:
Vamos somar e :
Agora, verificamos as condições para :
Portanto, e , o que mostra que também satisfaz as condições de . Assim, é fechado em relação à adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado em relação à multiplicação por escalar. Isto é, se multiplicarmos qualquer vetor em por um escalar , o resultado também deve estar em .
Seja em , então:
Multiplicando por :
Vamos verificar as condições para :
Então, e , o que significa que também satisfaz as condições de . Portanto, é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado em relação à adição de vetores e à multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Sejam os seguintes vetores do , e , com . O conjunto é uma base do desde que c seja diferente de:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 2
Sejam e . Ache números , , todos não-nulos, tais que , .
Sejam , e vetores em . Determine o subespaço gerado .
Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(a)