Considere uma transformação linear cuja imagem é gerada por
Determine:
(b) Uma base para o subespaço .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar uma base para o subespaço imagem da transformação linear . Isso está dentro do tema de Álgebra Linear, mais especificamente sobre transformações lineares e subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma base e como identificar vetores que formam uma base para um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os vetores que geram a imagem de :
Esses vetores estão no espaço .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se não forem, eliminamos os que são combinações lineares dos outros. Para isso, colocamos os vetores como colunas em uma matriz e fazemos uma redução por eliminação de Gauss:
Vamos simplificar essa matriz:
Primeira coluna: Já está com o primeiro elemento 1.
Subtraímos a primeira coluna da segunda para zerar abaixo: 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & -1 & -1 & 1
Subtraímos a primeira linha da terceira: 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 & 1
Agora, somamos a segunda linha à terceira para zerar o -1: 1 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 0
A última linha ficou toda zero, o que indica que o quarto vetor é uma combinação dos anteriores. Portanto, os três primeiros vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como os três primeiros vetores são linearmente independentes e geram a imagem de , eles formam uma base para . O quarto vetor foi descartado porque é dependente dos outros.
Resposta
Uma base para o subespaço , (1,0,1),; (1,1,0),; (-1,0,-1) , é formada pelos vetores