Sejam
um espaço vetorial sobre
e
um operador linear. Mostre as condições abaixo são equivalentes:
a)
b)
, então
a)
b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
sobre um campo
e um operador linear
. Precisamos mostrar que duas condições são equivalentes:
a) O núcleo de intersectado com a imagem de
é apenas o vetor zero, ou seja,
.
b) Se para todo
, então
.
a) O núcleo de
b) Se
Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos:
- Núcleo (ou núcleo) de
: conjunto de vetores em tais que . - Imagem de
: conjunto de vetores que podem ser escritos como para algum em . - Composição de operadores lineares:
.
Vamos seguir passo a passo para mostrar que essas duas condições são equivalentes.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a condição a) implica a condição b).
Assumindo que
.
Queremos provar que se
, então
.
Vamos considerar
. Então, temos:
Isso significa que
. Mas também,
, porque
. Portanto,
está na interseção
.
Pela condição a), essa interseção é apenas o vetor zero. Logo,
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos provar o contrário: que a condição b) implica a condição a).
Assumindo que sempre que
, então
.
Queremos mostrar que
.
Pegue um vetor
que está em
. Isso significa que:
-
(porque ) - Existe algum
em tal que (porque )
Agora, aplique
novamente em
:
Pela condição b), como
, então
. Mas
, então
.
Portanto, a única interseção possível é o vetor zero.
Resposta
As condições a) e b) são equivalentes porque cada uma implica a outra, conforme demonstrado acima.
Exercícios relacionados
Seja
um isomorfismo de espaços vetoriais. Mostre que sua inversa
é uma transformação linear
Ache o vetor
, ortogonal ao eixo Oy e ao vetor
, sabendo que
.
ou
Sejam
e
, para
e
, m. Se
e
. defina
por
a) Mostre que
é linear
b) Mostre que toda transformação linear, é da forma acima .
b) Mostre que toda transformação linear,
Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.