Sejam V um espaço vetorial sobre K e T: V V um operador linear. Mostre as condições abaixo são equivalentes:
a) Nuc(T) cap Im(T)=O
b) S e(T circ T)(v)=O forall v in V, então T(v)=O

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial sobre um campo e um operador linear . Precisamos mostrar que duas condições são equivalentes:
a) O núcleo de intersectado com a imagem de é apenas o vetor zero, ou seja, .
b) Se para todo , então .
Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos:
  • Núcleo (ou núcleo) de : conjunto de vetores em tais que .
  • Imagem de : conjunto de vetores que podem ser escritos como para algum em .
  • Composição de operadores lineares: .
Vamos seguir passo a passo para mostrar que essas duas condições são equivalentes.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a condição a) implica a condição b).
Assumindo que T(w) = T(T(v)) = T circ T(v) = 0 .
Queremos provar que se , então .
Vamos considerar . Então, temos:
Isso significa que . Mas também, , porque . Portanto, está na interseção .
Pela condição a), essa interseção é apenas o vetor zero. Logo, , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos provar o contrário: que a condição b) implica a condição a).
Assumindo que sempre que T(w) = T(T(v)) = T circ T(v) = 0 , então .
Queremos mostrar que .
Pegue um vetor que está em . Isso significa que:
  1. (porque )
  2. Existe algum em tal que (porque )
Agora, aplique novamente em :
Pela condição b), como , então . Mas , então .
Portanto, a única interseção possível é o vetor zero.

Resposta

As condições a) e b) são equivalentes porque cada uma implica a outra, conforme demonstrado acima.

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