Ache o vetor v, ortogonal ao eixo Oy e ao vetor u=(2,0,1), sabendo que |v times u|=1. v=(1 / 5,0,-2 / 5) ou v=(-1 / 5,0,2 / 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar um vetor v que seja ortogonal ao eixo Oy e também ao vetor u = (2, 0, 1). Além disso, sabemos que o módulo do produto vetorial entre v e u é igual a 1, ou seja, |v times u| = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser ortogonal a outro e como calcular o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Mas aqui, temos duas ortogonalidades: v é ortogonal ao eixo Oy e a u.
Ser ortogonal ao eixo Oy significa que v não tem componente na direção y. Então, podemos escrever v = (vx, 0, vz).

Passo 3

Agora, vamos garantir que v seja ortogonal a u = (2, 0, 1). O produto escalar entre dois vetores a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz) é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Então, para v cdot u = 0:
vx cdot 2 + 0 cdot 0 + vz cdot 1 = 0 2vx + vz = 0 vz = -2vx

Passo 4

Agora temos v = (vx, 0, -2vx). Vamos calcular o produto vetorial v times u.
O produto vetorial de v = (vx, 0, -2vx) e u = (2, 0, 1) é:
v times u = i & j & k vx & 0 & -2vx 2 & 0 & 1
Calculando o determinante:
v times u = i(0 cdot 1 - (-2vx) cdot 0) - j(vx cdot 1 - (-2vx) cdot 2) + k(vx cdot 0 - 0 cdot 2) = i(0) - j(vx + 4vx) + k(0) = -5vx j

Passo 5

Sabemos que o módulo do produto vetorial é igual a 1:
|v times u| = | -5vx j | = | -5vx | = 5|vx| = 1
Então:
5|vx| = 1 |vx| = 15 vx = pm 15

Passo 6

Agora, substituímos vx de volta em v:
Se vx = 15:
v = ( 15, 0, -2 cdot 15 ) = ( 15, 0, -25 )
Se vx = -15:
v = ( -15, 0, -2 cdot ( -15 ) ) = ( -15, 0, 25 )

Resposta

Portanto, os vetores v que satisfazem as condições são:
v = ( 15, 0, -25 ) ou v = ( -15, 0, 25 )

Exercícios relacionados