Seja
um isomorfismo de espaços vetoriais. Mostre que sua inversa
é uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que
é um isomorfismo entre espaços vetoriais. Nosso objetivo aqui é mostrar que a inversa dessa transformação,
, também é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como funciona um isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser um isomorfismo. Isso quer dizer que
é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Como
é bijetora, sabemos que a inversa
existe e também é uma função entre os espaços vetoriais
e
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades básicas:
-
Preserva a adição: Ou seja, para quaisquer
, devemos ter -
Preserva a multiplicação por escalar: Para qualquer escalar
e qualquer , deve valer
Vamos verificar cada uma delas:
-
Preservação da adição:Como
é linear, Portanto, -
Preservação da multiplicação por escalar:Novamente, usando a linearidade de
, Assim,
Resposta
Com isso, mostramos que
preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, o que confirma que
é, de fato, uma transformação linear.