Seja um isomorfismo de espaços vetoriais. Mostre que sua inversa é uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que é um isomorfismo entre espaços vetoriais. Nosso objetivo aqui é mostrar que a inversa dessa transformação, , também é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como funciona um isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um isomorfismo. Isso quer dizer que é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Como é bijetora, sabemos que a inversa existe e também é uma função entre os espaços vetoriais e .
Passo 3
Agora, para mostrar que é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades básicas:
Preserva a adição: Ou seja, para quaisquer , devemos ter
Preserva a multiplicação por escalar: Para qualquer escalar e qualquer , deve valer
Vamos verificar cada uma delas:
Preservação da adição:
Como é linear,
Portanto,
Preservação da multiplicação por escalar:
Novamente, usando a linearidade de ,
Assim,
Resposta
Com isso, mostramos que preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, o que confirma que é, de fato, uma transformação linear.