Seja um isomorfismo de espaços vetoriais. Mostre que sua inversa é uma transformação linear

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que é um isomorfismo entre espaços vetoriais. Nosso objetivo aqui é mostrar que a inversa dessa transformação, , também é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como funciona um isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um isomorfismo. Isso quer dizer que é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Como é bijetora, sabemos que a inversa existe e também é uma função entre os espaços vetoriais e .

Passo 3

Agora, para mostrar que é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades básicas:
  1. Preserva a adição: Ou seja, para quaisquer , devemos ter
  2. Preserva a multiplicação por escalar: Para qualquer escalar e qualquer , deve valer
Vamos verificar cada uma delas:
  • Preservação da adição:
    Como é linear,
    Portanto,
  • Preservação da multiplicação por escalar:
    Novamente, usando a linearidade de ,
    Assim,

Resposta

Com isso, mostramos que preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, o que confirma que é, de fato, uma transformação linear.

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a)
b) , então
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a) Mostre que é linear
b) Mostre que toda transformação linear, é da forma acima .