Seja T: V W um isomorfismo de espaços vetoriais. Mostre que sua inversa T^-1: W V é uma transformação linear

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que é um isomorfismo entre espaços vetoriais. Nosso objetivo aqui é mostrar que a inversa dessa transformação, , também é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como funciona um isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser um isomorfismo. Isso quer dizer que é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Como é bijetora, sabemos que a inversa existe e também é uma função entre os espaços vetoriais e .

Passo 3

Agora, para mostrar que T^-1(u + v) = T^-1(u) + T^-1(v) é uma transformação linear, precisamos verificar duas propriedades básicas:
  1. Preserva a adição: Ou seja, para quaisquer T^-1(a u) = a T^-1(u) , devemos ter
    T(T^-1(u + v)) = u + v
  2. Preserva a multiplicação por escalar: Para qualquer escalar T(T^-1(u) + T^-1(v)) = T(T^-1(u)) + T(T^-1(v)) = u + v e qualquer T^-1(u + v) = T^-1(u) + T^-1(v) , deve valer
    T(T^-1(a u)) = a u
Vamos verificar cada uma delas:
  • Preservação da adição:
    T(a T^-1(u)) = a T(T^-1(u)) = a u
    Como T^-1(a u) = a T^-1(u) é linear,
    Portanto,
  • Preservação da multiplicação por escalar:
    Novamente, usando a linearidade de ,
    Assim,

Resposta

Com isso, mostramos que preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, o que confirma que é, de fato, uma transformação linear.

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