Sejam as variáveis aleatórias Y1=X e Y2=1-X, onde E(X)=mu e Var(X)=sigma^2. Obtenha a matriz de variância e covariância de (Y1, Y2)^prime e verifique que é positiva semi definida.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias definidas como e . Sabemos que a esperança de é e a variância é . A tarefa é encontrar a matriz de variância e covariância de e mostrar que essa matriz é semi-definida positiva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de variância, covariância e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz de variância e covariância. Para duas variáveis aleatórias Var(Y1) & Cov(Y1, Y2) Cov(Y1, Y2) & Var(Y2) e , a matriz é dada por:
Então, precisamos calcular , e .

Passo 3

Vamos calcular Var(Y1) = Var(X) = sigma^2 . Como , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular Var(Y2) = Var(1 - X) = Var(X) = sigma^2 . Sabemos que . A variância de uma constante menos uma variável aleatória é igual à variância da variável:

Passo 5

Vamos calcular a covariância entre Cov(Y1, Y2) = E[(Y1 - E(Y1))(Y2 - E(Y2))] e E(Y1) = E(X) = mu . A covariância é definida como:
E(Y2) = E(1 - X) = 1 - mu
Primeiro, encontramos as esperanças:
Cov(Y1, Y2) = E[(X - mu)(1 - X - (1 - mu))] = E[(X - mu)(-X + mu)] = -E[(X - mu)^2] = -Var(X) = -sigma^2
Agora, substituindo na definição da covariância:

Passo 6

Com os valores calculados, a matriz de variância e covariância fica:
sigma^2 & -sigma^2 -sigma^2 & sigma^2

Passo 7

Agora, vamos verificar se essa matriz é semi-definida positiva. Uma matriz é semi-definida positiva se todos os seus autovalores são não negativos. Calculamos os autovalores resolvendo o determinante:
det( sigma^2 - lambda & -sigma^2 -sigma^2 & sigma^2 - lambda ) = (sigma^2 - lambda)^2 - (sigma^2)^2 = lambda^2 - 2sigma^2lambda = lambda(lambda - 2sigma^2)
Os autovalores são e , ambos não negativos, o que confirma que a matriz é semi-definida positiva.

Resposta

A matriz de variância e covariância de sigma^2 & -sigma^2 -sigma^2 & sigma^2 é
e ela é positiva semi-definida.

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