Sejam as variáveis aleatórias
e
, onde
e
. Obtenha a matriz de variância e covariância de
e verifique que é positiva semi definida.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias definidas como
e
. Sabemos que a esperança de
é
e a variância é
. A tarefa é encontrar a matriz de variância e covariância de
e mostrar que essa matriz é semi-definida positiva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de variância, covariância e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz de variância e covariância. Para duas variáveis aleatórias
e
, a matriz é dada por:
Então, precisamos calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
. A variância de uma constante menos uma variável aleatória é igual à variância da variável:
Passo 5
Vamos calcular a covariância entre
e
. A covariância é definida como:
Primeiro, encontramos as esperanças:
Agora, substituindo na definição da covariância:
Passo 6
Com os valores calculados, a matriz de variância e covariância fica:
Passo 7
Agora, vamos verificar se essa matriz é semi-definida positiva. Uma matriz é semi-definida positiva se todos os seus autovalores são não negativos. Calculamos os autovalores resolvendo o determinante:
Os autovalores são
e
, ambos não negativos, o que confirma que a matriz é semi-definida positiva.
Resposta
A matriz de variância e covariância de
é
e ela é positiva semi-definida.
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Encontre uma matriz simétrica A tal que
onde
define um produto interno em
, onde
ev
.
Seja A matriz simétrica nxn. Prove que existe D, matriz diagonal tal que
.
Assuma que
e
sejam matrizes nxn com
e
. Ache os determinantes indicados.
©
©
A função
é produto interno?, onde
e
pertence
e
.