Encontre uma matriz simétrica A tal que onde define um produto interno em , onde ev .
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma matriz simétrica que satisfaça a relação . Aqui, o produto interno é definido por em . Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar essa expressão com uma matriz simétrica que representa o produto interno.
Passo 2
Vamos lembrar que, em álgebra linear, um produto interno pode ser representado por uma matriz simétrica tal que . A matriz deve ser simétrica, ou seja, .
Primeiro, vamos escrever a expressão do produto interno dado:
Podemos comparar isso com a forma geral do produto interno usando uma matriz :
Como é simétrica, temos que . Agora, igualamos os coeficientes correspondentes:
Passo 3
Com os valores dos coeficientes encontrados, podemos construir a matriz A = a11 & a12 a21 & a22 = 4 & 1 1 & 4 :
Essa matriz é simétrica, pois .
Resposta
A matriz simétrica A = 4 & 1 1 & 4 que satisfaz a condição é: