Encontre uma matriz simétrica A tal que lang<= u, vrang<==u^top A v onde lang<= u, vrang<==4 u1 v1+u1 v2+u2 v1+4 u2 v2 define um produto interno em R^2, onde u=[lu1 u2] ev =[lv1 v2].

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma matriz simétrica que satisfaça a relação . Aqui, o produto interno é definido por em . Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar essa expressão com uma matriz simétrica que representa o produto interno.

Passo 2

Vamos lembrar que, em álgebra linear, um produto interno pode ser representado por uma matriz simétrica lang<= u, v rang<= = 4 u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + 4 u2 v2 tal que lang<= u, v rang<= = u^top A v = a11 u1 v1 + a12 u1 v2 + a21 u2 v1 + a22 u2 v2 . A matriz a11 = 4 a12 = 1 a22 = 4 deve ser simétrica, ou seja, .
Primeiro, vamos escrever a expressão do produto interno dado:
Podemos comparar isso com a forma geral do produto interno usando uma matriz :
Como é simétrica, temos que . Agora, igualamos os coeficientes correspondentes:

Passo 3

Com os valores dos coeficientes encontrados, podemos construir a matriz A = a11 & a12 a21 & a22 = 4 & 1 1 & 4 :
Essa matriz é simétrica, pois .

Resposta

A matriz simétrica A = 4 & 1 1 & 4 que satisfaz a condição é:

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