Seja A matriz simétrica nxn. Prove que existe D, matriz diagonal tal que x^prime A x=y^prime D y.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente provar que, se é uma matriz simétrica de ordem , então existe uma matriz diagonal de modo que . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes simétricas e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, como diagonalizá-la e como realizar mudanças de variável usando matrizes ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso implica que seus elementos satisfazem para todos e .

Passo 3

Uma propriedade muito importante das matrizes simétricas é que elas podem ser diagonalizadas por uma matriz ortogonal. Isso quer dizer que existe uma matriz ortogonal Q^prime A Q = D (ou seja, , onde é a matriz identidade) tal que:
onde é uma matriz diagonal. Essa é a base para a nossa prova.

Passo 4

Vamos considerar uma mudança de variável usando a matriz ortogonal y = Q^prime x . Definimos um novo vetor tal que:
Como é ortogonal, essa transformação preserva a norma e outras propriedades importantes.

Passo 5

Agora, vamos substituir x^prime A x = x^prime Q Q^prime A Q Q^prime x na expressão original x^prime A x = (Q^prime x)^prime D (Q^prime x) = y^prime D y usando a relação entre e . Temos:
Como é ortogonal, , então:

Passo 6

Portanto, mostramos que ao diagonalizar com uma matriz ortogonal , a expressão quadrática se transforma em , onde é a matriz diagonal resultante da diagonalização de .

Resposta

Assim, comprovamos que existe uma matriz diagonal tal que , utilizando a diagonalização de uma matriz simétrica através de uma matriz ortogonal.

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