Seja A matriz simétrica nxn. Prove que existe D, matriz diagonal tal que .
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente provar que, se é uma matriz simétrica de ordem , então existe uma matriz diagonal de modo que . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes simétricas e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, como diagonalizá-la e como realizar mudanças de variável usando matrizes ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso implica que seus elementos satisfazem para todos e .
Passo 3
Uma propriedade muito importante das matrizes simétricas é que elas podem ser diagonalizadas por uma matriz ortogonal. Isso quer dizer que existe uma matriz ortogonal (ou seja, , onde é a matriz identidade) tal que:
onde é uma matriz diagonal. Essa é a base para a nossa prova.
Passo 4
Vamos considerar uma mudança de variável usando a matriz ortogonal . Definimos um novo vetor tal que:
Como é ortogonal, essa transformação preserva a norma e outras propriedades importantes.
Passo 5
Agora, vamos substituir na expressão original usando a relação entre e . Temos:
Como é ortogonal, , então:
Passo 6
Portanto, mostramos que ao diagonalizar com uma matriz ortogonal , a expressão quadrática se transforma em , onde é a matriz diagonal resultante da diagonalização de .
Resposta
Assim, comprovamos que existe uma matriz diagonal tal que , utilizando a diagonalização de uma matriz simétrica através de uma matriz ortogonal.