Seja A matriz simétrica nxn. Prove que existe D, matriz diagonal tal que
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente provar que, se
é uma matriz simétrica de ordem
, então existe uma matriz diagonal
de modo que
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de matrizes simétricas e diagonalização. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser simétrica, como diagonalizá-la e como realizar mudanças de variável usando matrizes ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso implica que seus elementos satisfazem
para todos
e
.
Passo 3
Uma propriedade muito importante das matrizes simétricas é que elas podem ser diagonalizadas por uma matriz ortogonal. Isso quer dizer que existe uma matriz ortogonal
(ou seja,
, onde
é a matriz identidade) tal que:
onde
é uma matriz diagonal. Essa é a base para a nossa prova.
Passo 4
Vamos considerar uma mudança de variável usando a matriz ortogonal
. Definimos um novo vetor
tal que:
Como
é ortogonal, essa transformação preserva a norma e outras propriedades importantes.
Passo 5
Agora, vamos substituir
na expressão original
usando a relação entre
e
. Temos:
Como
é ortogonal,
, então:
Passo 6
Portanto, mostramos que ao diagonalizar
com uma matriz ortogonal
, a expressão quadrática
se transforma em
, onde
é a matriz diagonal resultante da diagonalização de
.
Resposta
Assim, comprovamos que existe uma matriz diagonal
tal que
, utilizando a diagonalização de uma matriz simétrica através de uma matriz ortogonal.