Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
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Passo 1
Beleza, a gente tem uma equação diferencial e precisa achar um fator integrante pra torná-la exata e depois resolver. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão:
. Aqui, temos:
Passo 3
Para que a equação seja exata, deve valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Precisamos encontrar um fator integrante
ou
que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Vamos tentar um fator que depende só de
.
A fórmula para o fator integrante que depende de
é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos considerar
, então:
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a equação está exata. Podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Passo 8
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então,
e
é uma constante.
Passo 9
A solução geral da equação é:
Resposta
A solução geral da EDO é: