Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
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Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação diferencial e precisa achar um fator integrante pra torná-la exata e depois resolver. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão: . Aqui, temos:

Passo 3

Para que a equação seja exata, deve valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Precisamos encontrar um fator integrante ou que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Vamos tentar um fator que depende só de .
A fórmula para o fator integrante que depende de é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação diferencial para :
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos considerar , então:

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 7

Agora, a equação está exata. Podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :

Passo 8

Derivamos em relação a e igualamos a :
Então, e é uma constante.

Passo 9

A solução geral da equação é:

Resposta

A solução geral da EDO é:

Exercícios relacionados

Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(e) ;
Sejam e duas soluções da EDO linear de primeira ordem 0 . Prove que qualquer combinação linear também é solução da EDO.
Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(d) .
Resolva os PVI(b)