Sejam
subespaços de
e suponha que
. Ache as dimensões possiveis de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais, especificamente sobre as dimensões de
,
e
, e pede para a gente descobrir quais são as possíveis dimensões da interseção
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a dimensões de subespaços e interseções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma regra importante sobre a soma e a interseção de subespaços. Se temos dois subespaços
e
de um espaço vetorial
, a dimensão da soma deles
é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a relacionar as dimensões dos subespaços individuais com a dimensão da sua interseção.
Passo 3
Sabemos que:
Além disso, o espaço vetorial
tem dimensão 7, ou seja:
Como
e
são subespaços de
, a soma deles
também é um subespaço de
. Portanto, a dimensão de
não pode exceder a dimensão de
:
Passo 4
Vamos usar a fórmula que mencionamos no Passo 2:
Substituindo os valores que temos:
Como
, podemos escrever:
Passo 5
Resolvendo a inequação para encontrar
:
Então, a dimensão da interseção
é pelo menos 2.
Passo 6
Além disso, a dimensão da interseção não pode ser maior que a menor dimensão entre
e
. Ou seja:
Passo 7
Então, juntando as duas informações:
Isso significa que as possíveis dimensões para
são 2, 3 ou 4.
Resposta
As dimensões possíveis de
são 2, 3 e 4.