Sejam W1, W2 subespaços de V e suponha que dim W1=4, dim W2=5 e dimV=7. Ache as dimensões possiveis de W1 cap W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais, especificamente sobre as dimensões de , e , e pede para a gente descobrir quais são as possíveis dimensões da interseção . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a dimensões de subespaços e interseções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma regra importante sobre a soma e a interseção de subespaços. Se temos dois subespaços dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1 cap W2) e de um espaço vetorial , a dimensão da soma deles é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a relacionar as dimensões dos subespaços individuais com a dimensão da sua interseção.

Passo 3

Sabemos que:
dim W1 = 4 e dim W2 = 5
Além disso, o espaço vetorial dim V = 7 tem dimensão 7, ou seja:
dim(W1 + W2) <= 7
Como e são subespaços de , a soma deles também é um subespaço de . Portanto, a dimensão de não pode exceder a dimensão de :

Passo 4

Vamos usar a fórmula que mencionamos no Passo 2:
dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim(W1 cap W2)
Substituindo os valores que temos:
dim(W1 + W2) = 4 + 5 - dim(W1 cap W2) = 9 - dim(W1 cap W2)
Como 9 - dim(W1 cap W2) <= 7 , podemos escrever:

Passo 5

Resolvendo a inequação para encontrar 9 - dim(W1 cap W2) <= 7 - dim(W1 cap W2) <= -2 dim(W1 cap W2) >= 2 :
Então, a dimensão da interseção é pelo menos 2.

Passo 6

Além disso, a dimensão da interseção não pode ser maior que a menor dimensão entre dim(W1 cap W2) <= min(dim W1, dim W2) = min(4, 5) = 4 e . Ou seja:

Passo 7

Então, juntando as duas informações:
2 <= dim(W1 cap W2) <= 4
Isso significa que as possíveis dimensões para são 2, 3 ou 4.

Resposta

As dimensões possíveis de são 2, 3 e 4.

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