Expresse os seguintes polinômios
c) 3+2 x+5 x^2
como combinação linear de:
p1(x)=2+x+4 x^2, p2(x)=1-x+3 x^2 e p3(x)=3+2 x+5 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de combinação linear! O que a gente precisa fazer é expressar o polinômio como uma combinação dos polinômios , e . Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando os coeficientes de cada termo.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear onde a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) = 3 + 2x + 5x^2 , a(2 + x + 4x^2) + b(1 - x + 3x^2) + c(3 + 2x + 5x^2) = 3 + 2x + 5x^2 e são os coeficientes que multiplicam cada polinômio , e respectivamente. Ou seja:
Substituindo os polinômios:

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes (2a) + (a cdot x) + (4a cdot x^2) + (b) + (-b cdot x) + (3b cdot x^2) + (3c) + (2c cdot x) + (5c cdot x^2) = 3 + 2x + 5x^2 , (2a + b + 3c) + (a - b + 2c)x + (4a + 3b + 5c)x^2 = 3 + 2x + 5x^2 e dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de 2a + b + 3c = 3 a - b + 2c = 2 4a + 3b + 5c = 5 dos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações. Observando a terceira equação, perceba que ela é exatamente igual ao polinômio que queremos expressar, o que indica que deve ser 1 e e devem ser 0.

Resposta

A combinação linear é:
0 cdot p1(x) + 0 cdot p2(x) + 1 cdot p3(x) = 3 + 2x + 5x^2

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