Dadas as matrizes A=(ccc2 & 4 & -3 0 & 4 & 5), B=(ccc5 & 0 & 1 -2 & 0 & 0) e C=(lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 2), resolva as seguintes equações, justificando cada passo:
& (b) -5(X+A)=-15(X+B)+X-C Resp: (ccc -40 / 29 & -100 / 29 & 76 / 29 -2 / 29 & -95 / 29 & -115 / 29 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação envolvendo matrizes. O enunciado nos dá as matrizes -5(X + A) = -15(X + B) + X - C , e , e a equação que precisamos resolver é:
Aqui, nosso objetivo é encontrar a matriz . Para isso, vamos precisar usar propriedades das matrizes, como distributiva, associativa e combinação linear. Vamos lá, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir o escalar que está multiplicando as matrizes no lado esquerdo e no lado direito da equação. Isso significa multiplicar cada elemento dentro dos parênteses pelo número que está na frente.
No lado esquerdo:
-5(X + A) = -5X -5A
No lado direito:
-15(X + B) + X - C = -15X + -15B + X - C

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito da equação combinando os termos que contêm -15X + 55X = 45X . Temos 45X + -15B - C . Para somar isso, precisamos pensar no como :
Então, o lado direito fica:

Passo 4

Agora, nossa equação está assim:
-5X -5A = 45X - 15B - C
Vamos juntar todos os termos que contêm -5A = 45X + 5X - 15B - C de um lado e os outros termos do outro lado. Para isso, vamos adicionar em ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos que têm -5A = 295X - 15B - C . Note que é o mesmo que :

Passo 6

Para isolar -5A + 15B + C = 295X , vamos adicionar em ambos os lados:

Passo 7

Agora, para resolver para X = 529 (-5A + 15B + C) , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Vamos substituir as matrizes A = 2 & 4 & -3 0 & 4 & 5 , B = 5 & 0 & 1 -2 & 0 & 0 , C = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 , X = 529 ( -5 2 & 4 & -3 0 & 4 & 5 + 15 5 & 0 & 1 -2 & 0 & 0 + 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 ) e pelos valores dados:
Substituindo na equação:

Passo 9

Vamos calcular cada parte dentro dos parênteses:
  1. Multiplicando -5A = -5 2 & 4 & -3 0 & 4 & 5 = -10 & -20 & 15 0 & -20 & -25 pela matriz 15B = 15 5 & 0 & 1 -2 & 0 & 0 = 1 & 0 & 15 -25 & 0 & 0 :
C = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2
  1. Multiplicando pela matriz :
  1. Mantém-se a matriz :

Passo 10

Agora, somamos as três matrizes resultantes:
-5A + 15B + C = -10 & -20 & 15 0 & -20 & -25 + 1 & 0 & 15 -25 & 0 & 0 + 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2
Somando elemento a elemento:
-10 + 1 + 1 & -20 + 0 + 0 & 15 + 15 + 0 0 - 25 + 0 & -20 + 1 + 0 & -25 + 0 + 2 = -8 & -20 & 15.2 -0.4 & -19 & -23

Passo 11

Multiplicamos essa matriz pelo escalar X = 529 -8 & -20 & 765 -25 & -19 & -23 = -4029 & -10029 & 7629 -229 & -9529 & -11529 :

Resposta

X = dfrac-4029 & dfrac-10029 & dfrac7629 dfrac-229 & dfrac-9529 & dfrac-11529

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